Аксіоми Ейленберга — Стінрода

У [математика|математиці]], зокрема в алгебричній топології, аксіоми Ейленберга — Стінрода є властивостями, яким задовольняють деякі теорії гомологій топологічних просторів. Найвідомішим таким прикладом є сингулярні гомології.

Теорію гомології можна визначити як послідовність функторів, що задовольняють аксіоми Ейленберга — Стінрода. Аксіоматичний підхід, розроблений у 1945 році, дозволяє довести важливі результати, такі як послідовність Маєра — Вієторіса, що є загальними для всіх теорій гомологій, що задовольняють аксіоми.

Якщо опустити аксіому розмірності (описану нижче), то решта аксіом визначають те, що називається надзвичайною теорією гомології. Надзвичайні теорії когомології вперше виникли в K-теорії та кобордизмі .

Аксіоми

Аксіоми Ейленберга — Стінрода застосовуються до послідовності фукторів ${\displaystyle H_{n}}$ з категорії пар ${\displaystyle (X,A)}$ топологічних просторів до категорії абелевих груп разом із натуральним перетворенням ${\displaystyle \partial \colon H_{i}(X,A)\to H_{i-1}(A)}$ що називається граничним відображенням (тут ${\displaystyle H_{i-1}(A)}$ позначає ${\displaystyle H_{i-1}(A,\emptyset )}$. Аксіоми:

1. Гомотопія: гомотопні відображення породжують те саме відображення в гомології. Тобто, якщо ${\displaystyle g\colon (X,A)\rightarrow (Y,B)}$ є гомотопним до ${\displaystyle h\colon (X,A)\rightarrow (Y,B),}$ то їх індуковані гомоморфізми є однаковими.
2. Точність: Якщо ${\displaystyle (X,A)}$ є парою топологічних просторів і U — підмножина A така, що замикання U міститься у внутрішності A, то відображення включення ${\displaystyle i\colon (X\setminus U,A\setminus U)\to (X,A)}$ породжує ізоморфізм на групах гомології.
3. Розмірність: Нехай P — одноточковий простір; тоді ${\displaystyle H_{n}(P)=0}$ для усіх ${\displaystyle n\neq 0.}$
4. Адитивність: Якщо ${\displaystyle X=\coprod _{\alpha }{X_{\alpha }},}$ диз'юнктне об'єднання множини топологічних просторів ${\displaystyle X_{\alpha },}$ тоді ${\displaystyle H_{n}(X)\cong \bigoplus _{\alpha }H_{n}(X_{\alpha }).}$
5. Точність: Кожна пара ${\displaystyle (X,A)}$ індукує довгу точну послідовність у гомології через включення ${\displaystyle i\colon A\to X}$ ${\displaystyle j\colon X\to (X,A)}$ :

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\,{\xrightarrow {i_{*}}}\,H_{n}(X)\,{\xrightarrow {j_{*}}}\,H_{n}(X,A)\,{\xrightarrow {\partial }}\,H_{n-1}(A)\to \cdots .}$

Якщо P — простір з однією точкою, то ${\displaystyle H_{0}(P)}$ називається групою коефіцієнтів. Наприклад, сингулярна гомологія (взята з цілими коефіцієнтами, як це найчастіше) має як коефіцієнти цілі числа.

Наслідки

Деякі факти про групи гомології можуть бути виведені безпосередньо з аксіом, наприклад, той факт, що гомотопічно еквівалентні простори мають ізоморфні групи гомології.

Гомологію деяких відносно простих просторів, таких як n-сфери , можна обчислити безпосередньо з аксіом. Також можна легко показати, що (n - 1)-сфера не є ретрактом n-кулі. Це використовується в доведенні теореми Брауера про нерухому точку.

Аксіома розмірності

"Гомологічна" теорія, що задовольняє всі аксіоми Ейленберга-Стінрода, крім аксіоми розмірності, називається надзвичайною теорією гомології (двоїсто є також надзвичайна теорія когомологій). Важливі приклади таких гомологій і когомологій були знайдені в 1950-х роках, такі як топологічна К-теорія та теорія кобордизму, які є надзвичайними когомологічними теоріями, і двоїсті для них теорії гомологій.

Див. також

• Послідовність Маєра — Вієторіса
• Сингулярні гомології
• Теорема про вирізання

Література

• Eilenberg, Samuel; Steenrod, Norman E. (1945). Axiomatic approach to homology theory. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 31: 117—120. doi:10.1073/pnas.31.4.117. MR 0012228. PMC 1078770. PMID 16578143.
• Eilenberg, Samuel; Steenrod, Norman E. (1952). Foundations of algebraic topology. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. MR 0050886.
• Bredon, Glen (1993). Topology and Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Т. 139. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-6848-0. ISBN 0-387-97926-3. MR 1224675.