Диз'юнктне об'єднання

Неформально кажучи, диз'юнктне об'єднання — це змінена операція об'єднання множин у теорії множин, яка кожний елемент наділяє індексом множини, з якої цей елемент увійшов у об'єднання.

Приклад

Диз'юнктне об'єднання множин ${\displaystyle A_{0}}$ = {1, 2, 3} і ${\displaystyle A_{1}}$ = {1, 2} обраховується з об'єднання множин:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}^{*}&=\{(1,0),(2,0),(3,0)\}\\A_{1}^{*}&=\{(1,1),(2,1)\}.\end{aligned}}}$

Таким чином

${\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}=A_{0}^{*}\cup A_{1}^{*}=\{(1,0),(2,0),(3,0),(1,1),(2,1)\}.}$

Визначення

Нехай ${\displaystyle \{A_{i}|i\in I\}}$ — сімейство множин, перерахованих індексами з ${\displaystyle I}$. Тоді диз'юнктним об'єднанням цього сімейства є множина

${\displaystyle \coprod _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\{(x,i)|x\in A_{i}\}.}$

Елементи диз'юнктного об'єднання є впорядкованими парами ${\displaystyle (x,i)}$. Таким чином ${\displaystyle i}$ є індекс, який показує, з якої множини ${\displaystyle A_{i}}$ елемент увійшов у об'єднання. Кожна з множин ${\displaystyle A_{i}}$ канонічно вкладена у диз'юнктне об'єднання як множина

${\displaystyle A_{i}^{*}=\{(x,i)|x\in A_{i}\}.}$

При ${\displaystyle \forall i,j\in I:i\neq j}$ множини ${\displaystyle A_{i}^{*}}$ и ${\displaystyle A_{j}^{*}}$ не мають спільних елементів, навіть якщо ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}\neq \varnothing }$. У виродженому випадку, коли множини ${\displaystyle A_{i}\forall i\in I}$ рівні якійсь конкретній ${\displaystyle A}$, диз'юнктне об'єднання є декартовим добутком множини ${\displaystyle A}$ та множини ${\displaystyle I}$, тобто

${\displaystyle \coprod _{i\in I}A_{i}=A\times I.}$

Використання

Іноді можна зустріти позначення ${\displaystyle A+B}$ для диз'юнктного об'єднання двох множин або наступне для сімейства множин:

${\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}.}$

Такий запис означає, що потужність диз'юнктного об'єднання рівна сумі потужностей множин сімейства. Для порівняння, декартовий добуток має потужність, рівну добутку потужностей.

У категорії множин диз'юнктним об'єднанням є пряма сума. Термін диз'юнктне об'єднання також використовується по відношенню об'єднання сімейства множин, які попарно не перетинаються. У цьому випадку диз'юнктне об'єднання позначається, як звичайне об'єднання множин, збігаючись з ним. Таке позначення часто зустрічається в інформатиці. Більш формально, якщо ${\displaystyle C}$ — це сімейство множин, то

${\displaystyle \bigcup _{A\in C}A}$

є диз'юнктним об'єднанням у розглянутому вище сенсі тоді і тільки тоді, коли за будь-яких ${\displaystyle A}$ та ${\displaystyle B}$ з ${\displaystyle C}$ виконується наступна умова:

${\displaystyle A\neq B\implies A\cap B=\varnothing .}$

Див. також

• Теорія множин
• Теорія категорій
• Декартовий добуток
• Потужність множини
• Шлях (теорія графів)

Література

• Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. — М. : Высшая школа, 1979. — С. 132.
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М. : Мир, 1971. — С. 9.
• Мельников О. В. и др. Общая алгебра: В 2 т. Т. 1. — Наука, 1990. — С. 13. — ISBN 5020144266.