ผลคูณอนันต์

ในคณิตศาสตร์ ผลคูณอนันต์ (อังกฤษ: Infinite product) ของลำดับ a₁, a₂, a₃, ... ซึ่งเขียนแทนด้วย

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}...}$

นิยามเป็นลิมิตของผลคูณย่อย a₁a₂...a_n เมื่อ n เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัด ผลคูณนี้เรียกว่า ลู่เข้า เมื่อลิมิตนี้มีอยู่และไม่เป็นศูนย์ มิฉะนั้นจะกล่าวว่าผลคูณนี้ลู่ออก โดยปกติแล้ว กรณีที่ลิมิตเป็นศูนย์ถูกพิจารณาเป็นพิเศษ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่เทียบเคียงได้กับอนุกรมอนันต์ มีแหล่งข้อมูลบางแหล่งที่อนุญาตให้ผลคูณลู่เข้าเป็น 0 หากมีตัวประกอบในลำดับเพียงจำนวนจำกัดที่เป็นศูนย์และผลคูณของส่วนที่ไม่เป็นศูนย์นั้นไม่ใช่ศูนย์ แต่สำหรับความเรียบง่าย ในบทความนี้จะไม่นับกรณีแบบนี้ หากผลคูณลู่เข้า ลิมิตของลำดับ a_n เมื่อ n เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขีดจำกัดจะต้องเป็น 1 เสมอ แต่บทกลับของทฤษฎีบทนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นจริง

ตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดของผลคูณอนันต์ เช่นสูตรสำหรับค่า π เช่น ผลคูณต่อไปนี้ เป็นของ Viète (ซึ่งเป็นผลคูณอนันต์ที่ค้นพบเป็นอันแรกในวิชาคณิตศาสตร์) และของ Wallis ตามลำดับ:

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}...}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}...=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)}$

เกณฑ์ในการลู่เข้า

ผลคูณของจำนวนจริงบวก

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

จะลู่เข้าสู่จำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})}$

ลู่เข้าเช่นเดียวกัน ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้สามารถแปลงเกณฑ์ในการลู่เข้าสำหรับอนุกรมอนันต์เป็นเกณฑ์การลู่เข้าสำหรับผลคูณอนันต์ได้ เกณฑ์เดียวกันอาจนำไปใช้กับผลคูณของจำนวนเชิงซ้อน (รวมถึงจำนวนจริงลบ) โดยการใช้กิ่ง (branch) ของฟังก์ชันลอการิทึมซึ่งเป็นไปตามข้อบังคับว่า ln(1) = 0 โดยมีเงื่อนไขว่าผลคูณลู่ออกหากมี a_n เป็นจำนวนอนันต์ที่ตกอยู่นอกเหนือโดเมนของ ln แต่หากมีเพียงจำนวนจำกัดสามารถข้ามได้

สำหรับผลคูณของจำนวนจริงที่แต่ละ ${\displaystyle a_{n}\geq 1}$ หรือเขียนเป็น ${\displaystyle a_{n}=1+p_{n},\ p_{n}\geq 0}$ จะได้อสมการ

${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{N}p_{n}\leq \prod _{n=1}^{N}(1+p_{n})\leq \exp \left(\sum _{n=1}^{N}p_{n}\right)}$

ซึ่งแสดงว่าผลคูณจะลู่เข้าถ้าอนุกรมอนันต์ของ p_n ลู่เข้า ทฤษฎีบทนี้ต้องอาศัย ทฤษฎีบทการลู่เข้าทางเดียว (Monotone convergence theorem) สำหรับบทกลับสามารถเห็นได้จากการสังเกตว่า ถ้า ${\displaystyle p_{n}\to 0}$ แล้ว

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\log(1+p_{n})}{p_{n}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\log(1+x)}{x}}=1}$

ดังนั้นโดยการทดสอบโดยการเปรียบเทียบลิมิต (limit comparison test) จะได้ว่าอนุกรมทั้งสองคือ

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(1+p_{n})}$ และ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$

เทียบเท่ากัน นั่นคือทั้งสองจะลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่เสมอ

บทพิสูจน์เดียวกันยังแสดงให้เห็นว่า หาก ${\displaystyle a_{n}=1-q_{n},\ 0\leq q_{n}<1}$ แล้ว ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-q_{n})}$ ลู่เข้าหาจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่ออนุกรม ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q_{n}}$ ลู่เข้า

หากอนุกรม ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\log(a_{n})}$ ลู่ออกไปสู่ ${\displaystyle -\infty }$ แล้วลำดับของผลคูณย่อยของ a_n จะลู่เข้าหาศูนย์ แต่ผลคูณอนันต์นั้นจะเรียกว่า ลู่ออกไปสู่ศูนย์[1]

สำหรับ ${\displaystyle p_{n}\ }$ ที่ไม่บังคับเครื่องหมาย การลู่เข้าของ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$ ไม่เพียงพอต่อการสรุปว่าผลคูณ ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+p_{n})}$ ลู่เข้าหรือไม่ แต่หาก ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|p_{n}|}$ ลู่เข้า แล้วจะบอกได้ว่าการลู่ของอนุกรม (ที่ไม่มีค่าสัมบูรณ์) กับผลคูณจะเป็นแบบเดียวกัน[2] คือลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่ และหาก ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|p_{n}|^{2}}$ ลู่เข้าก็จะบอกได้เช่นเดียวกัน[3]

รูปผลคูณของฟังก์ชัน

ผลลัพธ์ที่สำคัญอย่างหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาผลคูณอนันต์ คือฟังก์ชันทั่ว (entire function) f(z) ทุกฟังก์ชัน (นั่นคือ ทุกฟังก์ชันที่เป็นโฮโลมอร์ฟิกในระนาบเชิงซ้อน) สามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณอนันต์ของฟังก์ชันทั่วที่แต่ละตัวมีรากอย่างมากที่สุดหนึ่งค่า โดยทั่วไปถ้า f มีรากอันดับ m ที่จุดกำเนิดและมีรากเชิงซ้อนอื่น ๆ ที่ u₁, u₂, u₃, ... (แต่ละค่าไล่ซ้ำจำนวนครั้งเท่ากับอันดับของราก) แล้ว

${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)\exp \left\{{\frac {z}{u_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{2}+...+{\frac {1}{\lambda _{n}}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{\lambda _{n}}\right\}}$

เมื่อ λ_n เป็นจำนวนเต็มไม่ลบที่สามารถเลือกเพื่อให้ผลคูณลู่เข้า และ φ(z) เป็นฟังก์ชั่นทั่วบางฟังก์ชัน (ซึ่งแปลว่าพจน์หน้าผลคูณจะไม่มีรากในระนาบเชิงซ้อน) การแยกตัวประกอบข้างต้นทำได้หลายแบบ เนื่องจากขึ้นอยู่กับการเลือกค่าสำหรับ λ_n อย่างไรก็ตามสำหรับฟังก์ชั่นส่วนใหญ่จะมีจำนวนเต็มไม่ลบต่ำสุด p ที่เมื่อ λ_n = p แล้วผลคูณลู่เข้า เราเรียกผลคูณนี้ว่า รูปผลคูณบัญญัติ (canonical product representation) p นี้เรียกว่า อันดับ (rank) ของผลคูณบัญญัตินั้น ในกรณีที่ p = 0 จะได้เป็น

${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{\phi (z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)}$

ซึ่งถือได้ว่าเป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต โดยในกรณีพหุนาม ผลคูณมีพจน์จำกัด และ φ (z) เป็นค่าคงที่

นอกเหนือจากตัวอย่างเหล่านี้ รูปผลคูณของฟังก์ชันต่าง ๆ เช่น:

ขั้วอย่างง่าย (simple pole)	${\displaystyle {\frac {c}{c-z}}=\prod _{n=1}^{\infty }e^{{\frac {1}{n}}\,\left({\frac {z}{c}}\right)^{n}}}$
	${\displaystyle {\frac {1}{1-z}}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+z^{2^{n}}\right)}$
ฟังก์ชัน sinc	${\displaystyle {\textrm {sinc}}(\pi z)=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}$	มาจากออยเลอร์ มีสูตรค่าพายของ Wallis เป็นกรณีพิเศษ
ฟังก์ชันแกมมาส่วนกลับ	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}}$
ฟังก์ชันซิกมาของไวเออร์ชตราส	${\displaystyle \sigma (z)=z\prod _{\omega \in \Lambda _{*}}\left(1-{\frac {z}{\omega }}\right)e^{{\frac {z^{2}}{2\omega ^{2}}}+{\frac {z}{\omega }}}}$	${\displaystyle \Lambda _{*}}$ หมายถึง แลตทิซที่ไม่มีจุดกำเนิด
เครื่องหมาย q-Pochhammer	${\displaystyle (z;q)_{\infty }=\prod _{n=0}^{\infty }(1-zq^{n})}$	ใช้ใน q-analog theory มีฟังก์ชันออยเลอร์เป็นกรณีพิเศษ
ฟังก์ชันทีตาของรามานุจัน	${\displaystyle {\begin{aligned}f(a,b)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}b^{\frac {n(n-1)}{2}}\\&=\prod _{n=0}^{\infty }(1+a^{n+1}b^{n})(1+a^{n}b^{n+1})(1-a^{n+1}b^{n+1})\end{aligned}}}$	แสดงผลคูณสามชั้นของจาโคบี ใช้ในการเขียนฟังก์ชันทีตาของจาโคบี
ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์	${\displaystyle \zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{n}^{-z}}}}$	pn หมายถึง ลำดับของจำนวนเฉพาะ เป็นกรณีพิเศษของผลคูณออยเลอร์

โดยลำดับสุดท้ายไม่ใช่รูปผลคูณแบบที่กล่าวถึงข้างต้นเนื่องจาก ζ ไม่ใช่ฟังก์ชันทั่ว โดยรูปผลคูณนี้ ζ (z) ลู่เข้าเฉพาะเมื่อในขอบเขต Re (z) > 1 ซึ่งเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ โดยเทคนิคการต่อเนื่องวิเคราะห์ (analytic continuation) ฟังก์ชันนี้สามารถขยายไปเป็นฟังก์ชันการวิเคราะห์ที่เป็นเอกลักษณ์ (ซึ่งยังเรียกว่า ζ (z)) บนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดยกเว้นที่จุด z = 1 ซึ่งมีขั้วอย่างง่าย

ดูเพิ่ม

• อนุกรมอนันต์
• เศษส่วนต่อเนื่อง
• การดำเนินการทวิภาควนซ้ำ

อ้างอิง

1. Jeffreys, Harold; Jeffreys, Bertha Swirles (1999). Methods of Mathematical Physics. Cambridge Mathematical Library (3rd revised ed.). Cambridge University Press. p. 52. ISBN 1107393671.
2. Trench, William F. (1999). "Conditional Convergence of Infinite Products" (PDF). American Mathematical Monthly. 106: 646–651. สืบค้นเมื่อ December 10, 2018.
3. Knopp, Konrad (1954). Theory and Application of Infinite Series. London: Blackie & Son Ltd.