ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน หรือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน หรือ ความเบี่ยงเบนมาตรฐาน (อังกฤษ: standard deviation: SD) ในทางสถิติศาสตร์และความน่าจะเป็น เป็นการวัดการกระจายแบบหนึ่งของกลุ่มข้อมูล สามารถนำไปใช้กับการแจกแจงความน่าจะเป็น ตัวแปรสุ่ม ประชากร หรือมัลติเซต ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมักเขียนแทนด้วยอักษรกรีกซิกมาตัวเล็ก (${\displaystyle \sigma }$) นิยามขึ้นจากส่วนเบี่ยงเบนแบบ root mean square (RMS) กับค่าเฉลี่ย หรือนิยามขึ้นจากรากที่สองของความแปรปรวน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคิดค้นโดย ฟรานซิส กาลตัน (Francis Galton) ในช่วงปลายคริสต์ทศวรรษ 1860[1] เป็นการวัดการกระจายทางสถิติที่เป็นปกติทั่วไป ใช้สำหรับเปรียบเทียบว่าค่าต่าง ๆ ในเซตข้อมูลกระจายตัวออกไปมากน้อยเท่าใด หากข้อมูลส่วนใหญ่อยู่ใกล้ค่าเฉลี่ยมาก ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานก็จะมีค่าน้อย ในทางกลับกัน ถ้าข้อมูลแต่ละจุดอยู่ห่างไกลจากค่าเฉลี่ยเป็นส่วนมาก ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานก็จะมีค่ามาก และเมื่อข้อมูลทุกตัวมีค่าเท่ากันหมด ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะมีค่าเท่ากับศูนย์ นั่นคือไม่มีการกระจายตัว คุณสมบัติที่เป็นประโยชน์อย่างหนึ่งก็คือ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานใช้หน่วยอันเดียวกันกับข้อมูล แต่กับความแปรปรวนนั้นไม่ใช่

เมื่อตัวอย่างของข้อมูลกลุ่มหนึ่งถูกเลือกมาจากประชากรทั้งหมด ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรสามารถประมาณค่าได้จากค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างนั้น

นิยาม

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม ${\displaystyle X}$ มีการนิยามไว้ดังนี้

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\sigma &=&{\sqrt {\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})}}={\sqrt {\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}}}\\&=&{\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}\end{array}}}$

เมื่อ ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ หมายถึงค่าคาดหมายของ ${\displaystyle X}$ (เป็นอีกความหมายหนึ่งของมัชฌิม) และ ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)}$ หมายถึงความแปรปรวนของ ${\displaystyle X}$

แต่ก็ไม่ใช่ว่าตัวแปรสุ่มทุกตัวจะมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ถ้าหากค่าคาดหมายไม่มีอยู่จริงหรือไม่นิยาม ตัวอย่างเช่น ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มภายใต้การแจกแจงโคชี (Cauchy distribution) จะไม่นิยาม เพราะว่า ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ ก็ไม่นิยามเช่นกัน

ถ้าตัวแปรสุ่ม ${\displaystyle X}$ มีพื้นฐานอยู่บนเซตข้อมูล ${\displaystyle x_{1},...,x_{N}}$ ซึ่งสมาชิกเป็นจำนวนจริงและมีความน่าจะเป็นเท่ากัน ดังนั้นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสามารถคำนวณได้จากสูตรข้างล่างนี้ อันดับแรกต้องคำนวณหาค่าเฉลี่ยของ ${\displaystyle X}$ เสียก่อน ค่าเฉลี่ยเขียนแทนด้วย ${\displaystyle {\overline {x}}}$ ซึ่งนิยามด้วยผลรวม (summation) ดังนี้

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{N}}{N}}}$

เมื่อ ${\displaystyle N}$ คือจำนวนสมาชิกของเซตข้อมูล จากนั้นจึงสามารถคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานได้จาก

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}$

ในทางปฏิบัติ การคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มชนิดไม่ต่อเนื่องข้างต้น สามารถสรุปได้ดังนี้

1. สำหรับแต่ละค่าของ ${\displaystyle x_{i}}$ ให้คำนวณผลต่างของ ${\displaystyle x_{i}-{\overline {x}}}$
2. นำผลต่างแต่ละตัวมายกกำลังสอง
3. บวกผลลัพธ์ทั้งหมดเข้าด้วยกันแล้วหารด้วย ${\displaystyle N}$ ค่าที่ได้นี้คือความแปรปรวน ${\displaystyle \sigma ^{2}}$
4. คำนวณหารากที่สองที่เป็นบวกของความแปรปรวน จะได้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

นอกจากนั้นสูตรดังกล่าวสามารถดัดแปลงให้เป็นอีกรูปแบบหนึ่งได้ดังนี้

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}-N{\overline {x}}^{2}\right)}}}$

ซึ่งความเท่ากันของทั้งสองสูตร สามารถพิสูจน์ได้ด้วยความรู้ทางพีชคณิต

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}&={}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{2}-2x_{i}{\overline {x}}+{\overline {x}}^{2})\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-\left(2{\overline {x}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)+N{\overline {x}}^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-2{\overline {x}}(N{\overline {x}})+N{\overline {x}}^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-2N{\overline {x}}^{2}+N{\overline {x}}^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-N{\overline {x}}^{2}\end{aligned}}}$

การประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

ในความเป็นจริง การคำนวณหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรทั่วทั้งหมดนั้น อาจไม่สามารถทำให้เกิดขึ้นจริงได้ เว้นแต่ในกรณีเฉพาะเช่นการทดสอบมาตรฐาน (standardized test) ซึ่งทุกสมาชิกของประชากรจะถือว่าเป็นกลุ่มตัวอย่างทั้งหมด แต่ในกรณีส่วนใหญ่ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะถูกคาดคะเนจากจากส่วนเบี่ยงเบนของตัวอย่างกลุ่มหนึ่งที่มาจากประชากร การวัดที่มักถูกใช้เป็นปกติทั่วไปคือ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง (sample standard deviation) ซึ่งนิยามโดย

${\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{N-1}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}$

เมื่อ ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},...,x_{N}\}}$ คือตัวอย่างและ ${\displaystyle {\overline {x}}}$ คือค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง ตัวส่วน ${\displaystyle N-1}$ คือองศาเสรี (degrees of freedom) ของเวกเตอร์ ${\displaystyle (x_{1}-{\overline {x}},...,x_{N}-{\overline {x}})}$

เหตุผลของการนิยามเช่นนี้คือ ${\displaystyle s^{2}}$ เป็นตัวประมาณค่าไม่เอนเอียง (unbiased estimator) สำหรับความแปรปรวน ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ บนประชากรที่เป็นพื้นฐาน ถ้าหากความแปรปรวนนั้นมีค่า และค่าต่าง ๆ ของตัวอย่างได้รับการสุ่มออกมาโดยอิสระต่อกัน อย่างไรก็ตาม ${\displaystyle s}$ ไม่ใช่ตัวประมาณค่าไม่เอนเอียงของ ${\displaystyle \sigma }$ แต่เป็นการประเมินค่าที่ต่ำกว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร และถึงแม้ว่าตัวประมาณค่าไม่เอนเอียงของ ${\displaystyle \sigma }$ จะสามารถทราบได้เมื่อตัวแปรสุ่มมีการแจกแจงปกติ แต่สูตรดังกล่าวจะซับซ้อนขึ้นและมีการปรับแต่งตัวเลข ยิ่งกว่านั้นความไม่เอนเอียงก็ไม่ได้เป็นที่ต้องการเสมอไป

ตัวประมาณค่าอีกแบบหนึ่งบางครั้งก็ถูกใช้เหมือนสูตรเดิม

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}$

รูปแบบนี้จะทำให้เกิดค่าคลาดเคลื่อนประเภท mean squared error น้อยกว่าตัวประมาณค่าไม่เอนเอียง และเป็นการประมาณความน่าจะเป็นสูงสุด (Maximum Likelihood Estimation) เมื่อการกระจายของประชากรนั้นเป็นการแจกแจงปกติ

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง

การแจกแจงต่อเนื่อง (continuous distribution) มักจะเป็นการให้สูตรมาเพื่อคำนวณหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์ของการแจกแจง ในกรณีทั่วไปค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มชนิดต่อเนื่อง ${\displaystyle X}$ โดยมี ${\displaystyle p(x)}$ เป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (probability density function) สามารถคำนวณได้จาก

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\int (x-\mu )^{2}\,p(x)\,dx}}}$

เมื่อ

${\displaystyle \mu =\int x\,p(x)\,dx}$

คุณสมบัติของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

• ${\displaystyle \operatorname {Stdev} (X+c)=\operatorname {Stdev} (X)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Stdev} (cX)=c\ \operatorname {Stdev} (X)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Stdev} (X+Y)={\sqrt {\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)+2\operatorname {Covar} (X,Y)}}}$

เมื่อ ${\displaystyle c}$ เป็นค่าคงตัว และ ${\displaystyle \operatorname {Covar} (X,Y)}$ คือความแปรปรวนร่วมเกี่ยว (covariance) ของตัวแปรสุ่ม ${\displaystyle X}$ และ ${\displaystyle Y}$

อ้างอิง

1. Sir Francis Galton discovered the standard deviation

แหล่งข้อมูลอื่น

• A Guide to Understanding & Calculating Standard Deviation เก็บถาวร 2010-04-20 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• Standard Deviation - an explanation without maths
• Standard Deviation, an elementary introduction
• Standard Deviation, a simpler explanation for writers and journalists
• Standard Deviation Calculator เก็บถาวร 2013-10-22 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• Texas A&M Standard Deviation and Confidence Interval Calculators เก็บถาวร 2010-01-12 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน