Tangenssatsen

Tangenssatsen är inom trigonometrin en sats som anger sambandet mellan två sidor och deras motstående vinklar för en godtycklig triangel:

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta ))}{\tan({\frac {1}{2}}(\alpha +\beta ))}}}$

Ovanstående samband gäller för godtyckliga sidor ${\displaystyle a}$ och ${\displaystyle b}$ samt godtyckliga vinklar ${\displaystyle \alpha }$ och ${\displaystyle \beta }$.

Bevis

Enligt sinussatsen gäller

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}}$

Låt

${\displaystyle d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }},}$

så att

${\displaystyle a=d\sin \alpha {\text{ och }}b=d\sin \beta \,}$

Av detta följer

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.}$

Genom att använda den trigonometriska identiteten för summa till produkt

${\displaystyle \sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right),\;}$

erhålls

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}}$

Se även

• Areasatsen
• Sinussatsen
• Cosinussatsen