Areasatsen

Areasatsen är en formel för att beräkna en triangels area då två sidor och mellanliggande vinkel är kända.

Antag en triangel med sidlängderna ${\displaystyle a,b}$ och ${\displaystyle c}$ och där sidornas motstående vinklar är ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ respektive ${\displaystyle \gamma }$.

Triangelns area kan då beräknas med någon av formlerna

${\displaystyle Arean={ab\sin \gamma \over 2}}$

${\displaystyle Arean={ac\sin \beta \over 2}}$

${\displaystyle Arean={bc\sin \alpha \over 2}}$

Härledning

Arean av en triangel är lika med basen ${\displaystyle b}$ multiplicerat med höjden ${\displaystyle h}$ genom två, det vill säga:

${\displaystyle \ Arean={bh \over 2}}$

Definitionen av sinus ger:

${\displaystyle h=a\cdot \sin \gamma }$

Och således är:

${\displaystyle \ Arean={ab\sin \gamma \over 2}}$

Referenser

• Areasatsen på Matteboken.

Se även

• Sinussatsen
• Cosinussatsen
• Tangenssatsen
• Herons formel