Ortogonalt komplement

Ett ortogonalt komplement är i linjär algebra och funktionalanalys ett underrum ${\displaystyle U^{\bot }}$ i ett inre produktrum ${\displaystyle V}$ som består av alla de element som är ortogonala mot alla elementen i ett givet underrum ${\displaystyle U}$:

${\displaystyle W^{\bot }=\{x\in V:\langle x,y\rangle =0:\forall y\in W\}.}$

Ändlig dimension

I ett ändligtdimensionellt inre produktrum av dimension n är det ortogonala komplementet till ett k-dimensionellt underrum ett underrum av dimension ${\displaystyle n-k}$. Det ortogonala komplementet av det ortogonala komplementet är det ursprungliga rummet:

${\displaystyle U^{\bot \bot }=U}$

För en m × n-matris, så har kolonnrummet, ${\displaystyle K(A)}$, nollrummet, ${\displaystyle N(A)}$, och radrummet , ${\displaystyle R(A)}$, följande egenskaper:

${\displaystyle (R(A))^{\bot }=N(A)}$

${\displaystyle (K(A))^{\bot }=N(A^{T})}$

Egenskaper

Det ortogonala komplementet är alltid en sluten mängd i den metriska topologin, för ändligtdimensionella inre produktrum är detta en enkel följd av att alla underrum är slutna. I oändlighetsdimensionella Hilbertrum finns det underrum som inte är slutna, men deras ortogonala komplement är slutna. Det är ortogonala komplementet till det ortogonala komplenetet av W blir då det slutna höljet av W:

${\displaystyle W^{\bot \bot }={\overline {W}}}$