Kutjerov vann Stanley Cup med Lightning 2020 samt 2021 och vann då poängligan i slutspelet vid bägge tillfällena. Kutjerov har rekordet för ryska spelare för poäng på en säsong (128) samt klubbrekord för Lightning i slutspel vad gäller poäng: mål och assist.
Kutjerov debuterade i NHL för Tampa Bay Lightning den 25 november 2013 mot New York Rangers. I sitt första byte i matchen gjorde han sitt första mål i NHL. Han blev därmed den sjunde spelaren i Lightnings historia att göra mål i sin debutmatch.[2] Den 28 oktober 2014 gjorde han sitt första hat trick i NHL.[3]
Kutjerov hade karriärens hittills poängbästa säsong 2018/19 då han slog flera rekord. Totalt gjorde han 128 poäng (41 mål, 87 assist) på 82 matcher.[1] Han vann NHL:s poängliga och belönades med Art Ross Trophy. Han vann poängligan med flest poäng sedan Mario Lemieux1995/96.[5] Under säsongen gick han om Alexander Mogilny som den ryska spelaren som gjort flest poäng i NHL under en enskild säsong.[6] Han tangerade även Jaromir Jagrs rekord över flest assist under en säsong av en forward.[7] Han slog även rekord som den genom tiderna poängbästa spelaren i Lightning.[8]
