Einsteins fältekvationer

Allmänna relativitetsteorin ${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$
Introduktion · Historia · Matematik · Tester
Fundamentala begrepp Ekvivalensprincipen · Speciella relativitetsteorin · Världslinje · Riemannsk geometri
Fenomen Keplerproblemet · Gravitationslins · Gravitationsvåg · Ramdragning · Geodetisk effekt · Händelsehorisont · Singularitet · Svart hål
Rumtid Geodet · Minkowskidiagram · Minkowskirum · Maskhål
Ekvationer Linjäriserad gravitation · Einsteins fältekvationer · Friedmann · Mathisson–Papapetrou–Dixon · Hamilton–Jacobi–Einstein
Formalismer ADM · BSSN · Postnewtonsk
Avancerad teori Kaluza–Klein-teorin · Kvantgravitation · Alternativa teorier
Lösningar Schwarzschild · Reissner–Nordström · Gödel · Kerr · Kerr–Newman · Kasner · Lemaître–Tolman · Taub–NUT · Milne · Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker · pp-vågor · van Stockum-damm
Forskare Einstein · Lorentz · Hilbert · Poincaré · Schwarzschild · de Sitter · Reissner · Nordström · Weyl · Eddington · Friedmann · Milne · Zwicky · Lemaître · Gödel · Wheeler · Robertson · Bardeen · Walker · Kerr · Chandrasekhar · Ehlers · Penrose · Hawking · Raychaudhuri · Taylor · Hulse · van Stockum · Taub · Newman · Yau · Thorne

Einsteins fältekvationer (EFE) är tio ekvationer i Albert Einstein allmänna relativitetsteori, som beskriver gravitationen som ett resultat av att rumtiden kröks av materia och energi.[1][2]

Ekvationerna publicerades första gången av Einstein 1915[3] som en tensorekvation, med rumtidens krökning på ena sidan likhetstecknet, och rymdens innehåll av energi och materia på andra sidan.

Einsteins fältekvationer används för att beräkna vilken krökning rumtiden får utifrån det rymden innehåller i form av energi och materia, på ett sätt som liknar hur Maxwells ekvationer används för att beräkna elektromagnetiska fält utifrån rymdens innehåll av laddningar och strömmar.

EFE bevarar energi och rörelsemängd lokalt i rumtiden. Där gravitationsfältet är svagt och all materia rör sig långsamt i förhållande till ljusets hastighet kan EFE reduceras till Newtons gravitationslag som en approximation.[4].

Matematisk form

Einsteins fältekvationer kan skrivas på formen:[1][2]

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$

där ${\displaystyle R_{\mu \nu }\,}$ är Riccis krökningstensor, ${\displaystyle R\,}$ den skalära krökningen, ${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$ metriktensorn, ${\displaystyle \Lambda \,}$ är den kosmologiska konstanten, ${\displaystyle G\,}$ Newtons gravitationskonstant, ${\displaystyle c\,}$ ljusets hastighet, och ${\displaystyle T_{\mu \nu }\,}$ stressenergitensorn.

EFE är en tensorekvation som beskriver relationerna mellan en uppsättning symmetriska 4 x 4 tensorer. Varje tensor har tio oberoende komponenter, och därför kan tensorekvationen skrivas ut som tio icke-linjära partiella differentialekvationer. Friheten att välja koordinatsystem i rumtiden gör att antalet oberoende komponenter kan reduceras till sex.[5]

Lösningar

Eftersom det finns flera oberoende komponenter, krävs fler antaganden för att kunna lösa ekvationerna. Med vakuumapproximationen, ${\displaystyle T_{\mu \nu }=0}$, finns till exempel den triviala lösningen Minkowskirummet utan krökning, och Schwarzschilds lösning kring en icke-roterande sfäriskt symmetrisk massa.

Referenser

Noter

1. ^ [ ] Einstein, Albert (1916). ”Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie” (på tyska) (PDF). Annalen der Physik: sid. 284–339. http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/andp.19163540702/pdf. 
2. ^ [ ] Einstein, Albert (1916). ”The Foundation of the General Theory of Relativity” (på engelska) (PDF). Annalen der Physik. Arkiverad från originalet den 15 november 2015. https://web.archive.org/web/20151115215202/http://hermes.ffn.ub.es/luisnavarro/nuevo_maletin/Einstein_GRelativity_1916.pdf. 
3. Einstein, Albert (25 november 1915). ”Die Feldgleichungen der Gravitation”. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: sid. 844–847. Arkiverad från originalet den 27 oktober 2016. https://web.archive.org/web/20161027044950/http://nausikaa2.mpiwg-berlin.mpg.de/cgi-bin/toc/toc.x.cgi?dir=6E3MAXK4. Läst 12 september 2006. 
4. Carroll, Sean (2004). Spacetime and Geometry – An Introduction to General Relativity. sid. 151–159. ISBN 0-8053-8732-3 
5. Olof Sjöstrand, Einsteins relativitetsteori – Matematisk bakgrund och enkla tillämpningar, Akademiförlaget (1971).

Källor

• Aczel, Amir D., 1999. God's Equation: Einstein, Relativity, and the Expanding Universe. Delta Science. En populär översikt.
• Charles Misner, Kip Thorne, and John Wheeler, 1973. Gravitation. W H Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.

Externa länkar

• Caltech Tutorial on Relativity — En enkel introduktion till Einsteins fältekvationer.
• The Meaning of Einstein's Equation — En förklaring och härledning av EFE, tillsammans med några av dess konsekvenser
• Videoföreläsning om EFE av fysikprofessorn vid MIT Edmund Bertschinger.