Differentierbarhet

Differentierbarhet är inom matematisk analys en lokal egenskap hos en funktion som generaliserar begreppet deriverbarhet till flera dimensioner. Ur differentierbarhet följer kontinuitet och kedjeregeln.

Definition

Funktionen ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ säges vara differentierbar i punkten ${\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}$ om och endast om det existerar en punkt ${\displaystyle \mathbf {A} }$ i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ och en funktion ${\displaystyle \rho :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ sådana att

${\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-f(\mathbf {a} )=\mathbf {A} \cdot \mathbf {h} +|\mathbf {h} |\rho (\mathbf {h} )}$

och

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \rightarrow \mathbf {0} }\rho (\mathbf {h} )=0}$

En funktion säges vara differentierbar på en mängd M om funktionen är differentierbar i alla punkter i M.

Det kan observeras att definitionen av differentierbarhet är ekvivalent med definitionen för deriverbarhet om f är en funktion av bara en variabel. För vektorvärda funktioner betraktas komponentfunktionernas differentierbarhet.

Man kan visa ${\displaystyle A_{i}={\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial x_{i}}}}$ i punkten ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} }$ liksom att existensen av kontinuerliga partiella derivator för en funktion implicerar differentierbarhet.

Liksom ekvationen för tangenten till funktionen kan utläsas ur definitionen av deriverbarhet beskriver högerledet i definitionen ovan tangentplanet till funktionen i punkten ${\displaystyle \mathbf {a} }$.

Att en funktion är differentierbar innebär att den är deriverbar i alla riktningar. Grafiskt tolkat betyder det att tangentplanet ligger nära funktionsytan. Alla kontinuerliga funktioner är således inte differentierbara.