Skladanie funkcií

Majme funkcie f : X → Y a g : Y → Z (t.j. obor hodnôt prvej funkcie je rovnaký ako definičný obor druhej funkcie). Potom zložením funkcií f a g je nová funkcia g ∘ f : X → Z, definovaná predpisom (g ∘ f )(x) = g(f(x)). Teda výsledok prvej funkcie použijeme ako vstup pre druhú funkciu.

Skladanie funkcií je špeciálnym prípadom skladania relácií.

Príklady

g ∘ f  - zloženie f a g. Napríklad (g ∘ f )(c) = #.

Konkrétny príklad zloženia dvoch funkcií.

• Zloženie dvoch funkcií na konečnej množine: Ak f = {(1, 3), (2, 1), (3, 4), (4, 6)} a g = {(1, 5), (2, 3), (3, 4), (4, 1), (5, 3), (6, 2)}, tak f ∘ g = {(1, 4), (2, 5), (3, 1), (4, 2)}.
• Zloženie funkcií na nekonečnej množine: Ak f: ℝ → ℝ (kde ℝ je množina všetkých reálnych čísel) je daná f(x) = 2x + 4 a g: ℝ → ℝ je daná g(x) = x^3, potom:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x^3) = 2x^3 + 4, a

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 4) = (2x + 4)^3.

• Ak je výška lietadla v čase t daná funkciou h(t), a koncentrácie kyslíka v nadmorskej výške x je daná funkciou c(x), tak zložená funkcia (c ∘ h)(t) predstavuje koncentráciu kyslíka okolo lietadla v čase t.

Vlastnosti

Zloženie funkcií je vždy asociatívne — túto vlastnosť má skladanie relácií vo všeobecnosti. To znamená, že ak f, g a h sú tri funkcie (s vhodne zvolenými definičnými obormi a obormi hodnôt), tak nezáleží na tom, či naskôr zložíme g a h a potom zložíme f s výsledkom, alebo najskôr zložíme f a g, a výsledok s h — v oboch prípadoch bude výsledok rovnaký. Symbolicky to môžeme napísať: f ∘ (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h. Podobne to platí aj vtedy, keď skladáme viac ako 3 funkcie: na poradí (na uzátvorkovaní) nezáleží. Preto môžeme zátvorky vynechať.

Zloženie dvoch injektívnych (prostých) zobrazení je opäť injektívne. Podobne zloženie dvoch surjektívnych zobrazení je vždy surjektívne. Z toho vyplýva, že zložením dvoch bijekcií je tiež bijekcia. Inverzná funkcia ku zloženiu dvoch funkcií (ak sa dá invertovať) má vlastnosť, že (f ∘ g)^−1 = ( g^−1 ∘ f ^−1).

Zložením dvoch diferencovateľných funkcií dostaneme opäť diferencovateľnú funkciu, ktorá sa dá zderivovať pomocou reťazového pravidla.

V programovacích jazykoch

Skladanie funkcií sa v rôznych formách vyskytuje v mnohých programovacích jazykoch.

Typografia

Symbol zloženia ∘ má v Unicode kód U+2218 (v HTML ∘ ). V systéme TeX, sa dá zapísať pomocou \circ.