Sústava lineárnych rovníc

Lineárny systém s troma premennými definovanými ako roviny. Riešenie systému je prienik rovín (bod).

Sústava lineárnych rovníc označuje v matematike a lineárnej algebre množinu lineárnych rovníc. Môže to byť napríklad

${\displaystyle 3x_{1}+2x_{2}+x_{3}=1\,\!}$

${\displaystyle 2x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=-2\,\!}$

${\displaystyle -x_{1}+3x_{2}-x_{3}=0\,\!}$

Úlohou pri riešení je nájsť také hodnoty x₁, x₂ a x₃ pre ktoré platia všetky rovnice zároveň.

Použitie

Riešenie sústav lineárnych rovníc patrí v matematike k najstarším problémom a má veľa aplikácii, napríklad pri odhadovaní, v predpovediach a v lineárnom programovaní.

Zápis

Všeobecne môže byť sústava m lineárnych rovníc s n neznámymi zapísaná ako

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂

    :

    :

a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = b_m,

kde premenné x₁, … ,x_n sú premenné a a_ij sú koeficienty sústavy rovníc. Čísla ${\displaystyle b_{i}}$, kde ${\displaystyle i=1,2,...,m}$, sú absolútne členy sústavy (alebo tiež tzv. pravá strana sústavy). Vo všeobecnosti môžu byť koeficienty aj absolútne členy komplexnými číslami.

Koeficenty je možné zapísať v tvare matice:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}}$

Túto maticu označujeme ako "maticu sústavy"

Premenné a pravú stranu sústavy je možné vyjadriť ako vektory

${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}}$

Celú sústavu rovníc je možné vyjadriť ako

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}}$

alebo skrátene v maticovom zápise:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot {\vec {x}}={\vec {b}}}$

prípadne pomocou notácie podľa sumy:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=b_{i}}$

pre ${\displaystyle i=1,2,...,m}$.

Metódy riešenia

• Gaussova eliminačná metóda
• Cramerovo pravidlo
• Pomocou inverznej matice
• Metóda najmenších štvorcov
• LU rozklad
• Choleského rozklad

Súvisiace články

• Sústava rovníc
• Rovnice

Externé odkazy

• Online výpočet sústavy lineárnych rovníc

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Soustava lineárních rovnic na českej Wikipédii.

Matematický portál