Frobeniova veta (matice)

Frobeniova veta je tvrdenie, ktoré určuje, za akých podmienok má systém lineárnych rovníc riešenie.

Definícia

Nech je daný systém m lineárnych rovníc s n neznámymi nad poľom F:

${\displaystyle a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}=c_{1}}$

${\displaystyle a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}=c_{2}}$

    :

${\displaystyle a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}=c_{m}}$

kde ${\displaystyle a_{i,j}\in F,c_{i}\in F}$ pre všetky :${\displaystyle i=1,2,...,m,j=1,2,...,n}$

Frobeniova veta

Systém rovníc je riešiteľný práve vtedy, keď hodnosť matice systému sa rovná hodnosti rozšírenej matice systému.

Príklady

${\displaystyle \scriptstyle \left({\begin{array}{cccc|c}&1&2&3&4\\&0&5&6&7\\&0&0&8&9\\\end{array}}\right)}$

Vyššie uvedená matica má jedno riešenie, lebo h(A) = 3, h(A′) = 3 a neobsahuje nulový riadok. Matica

${\displaystyle \scriptstyle \left({\begin{array}{cccc|c}&1&2&3&4\\&0&5&6&7\\&0&0&0&0\\\end{array}}\right)}$

má riešenie, lebo h(A) = 2, h(A′) = 2 a je ich nekonečne veľa, pretože obsahuje nulový riadok. Avšak matica

${\displaystyle \scriptstyle \left({\begin{array}{cccc|c}&1&2&3&4\\&0&5&6&7\\&0&0&0&8\\\end{array}}\right)}$

riešenie nemá, pretože h(A) = 2, h(A′) = 3, teda hodnosť matice systému sa nerovná hodnosti rozšírenej matice systému.

Literatúra

• Hans, J. Bartsch: Matematické vzorce. Praha, SNTL - Nakladatelství technické literatury. 1987, s. 197
• P. Horák - Ľ. Niepel: Prehľad matematiky. Bratislava, Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry. 1982, s. 165-167

Pozri aj

• Matica (matematika)
• Determinant (matematika)

Externé odkazy

• Riešenie sústavy lineárnych rovníc Aplikácia, ktorá vypočíta riešenie dvoch a viacerých lineárnych rovníc.
• Frobeniova veta (matice)