Okolie (matematika)

Okolie bodu je podmnožina topologického priestoru, ktorej otvorená podmnožina obsahuje tento bod. Okolie bodu je taká množina, že aj "blízke" body ležia stále v tejto množine. Pomocou okolia bodu sa dajú definovať pojmy uzáver a vnútro množiny, spojité zobrazenie, limita postupnosti a podobne.

Okolie v množine reálnych čísel

V množine reálnych čísel je ε-okolie (ε > 0) bodu x otvorený interval (x-ε, x+ε).

Prstencové ε-okolie bodu x je potom okolie, ktoré neobsahuje bod x, teda zjednotenie intervalov ${\displaystyle (x-\epsilon ,x)\cup (x,x+\epsilon )}$.

Okolie komplexného bodu

${\displaystyle \delta }$-okolím komplexného bodu ${\displaystyle z_{0}}$ označujeme všetky body z komplexnej roviny, pre ktoré platí ${\displaystyle |z-z_{0}|<\delta }$, tzn. body ležiace na komplexnej rovine vo vnútri kružnice so stredom v bode ${\displaystyle z_{0}}$ a polomerom ${\displaystyle \delta }$.

Okolie v metrických priestoroch

V metrickom priestore ${\displaystyle X}$ máme pomocou metriky ${\displaystyle d}$ definovanú vzdialenosť bodov a zavádzame ${\displaystyle \epsilon }$-okolie bodu ${\displaystyle x}$ ako

${\displaystyle U_{\epsilon }(x)=\{y\in X:d(x,y)<\epsilon \}}$

Všeobecná definícia

Podmnožinu ${\displaystyle U}$ topologického priestoru ${\displaystyle (X,\tau )}$ nazveme okolím bodu ${\displaystyle x}$, ak existuje otvorená podmnožina ${\displaystyle O\in \tau }$ taká, že ${\displaystyle x\in O}$. Okolie bodu ${\displaystyle x}$ označujeme ${\displaystyle U(x)}$.

Pretože vnútrajšok množiny je jej najväčšia otvorená podmnožina, je množina ${\displaystyle U(x)}$ okolím bodu ${\displaystyle x}$ práve vtedy, keď ${\displaystyle x}$ leží v jej vnútri.