Metrický priestor

Metrický priestor je matematická štruktúra, ktorá na danej neprázdnej množine umožňuje zadefinovať pojem vzdialenosti. Pozostáva z neprázdnej základnej množiny X a funkcie d, nazývanej metrika na X, ktorá každej dvojici bodov zo základnej množiny X priraďuje ich vzdialenosť, pričom sú pre ňu splnené isté podmienky. Metrický priestor sa definuje ako usporiadaná dvojica ${\displaystyle (X,d)}$. Na jednej základnej množine môže byť definovaných aj viacero metrík, preto metrický priestor nie je svojou základnou množinou jednoznačne určený.

Motiváciou pre štúdium metrických priestorov je snaha o vystihnutie podstaty konceptov konvergencie a spojitosti a ich zovšeobecnenie z oborov reálnych alebo komplexných čísel do ľubovoľného oboru, ktorý tvorí metrický priestor.

Metrické priestory umožňujú okrem iného dobre definovať pojem otvorenej a uzavretej množiny. Tieto sa potom využívajú pri ďalšom zovšeobecnení - topologických priestoroch, na ktorých nie je definovaná vzdialenosť medzi dvoma bodmi, ale len trieda otvorených podmnožín, spĺňajúca isté základné podmienky vyplývajúce z teórie metrických priestorov.

Definícia

Metrický priestor je usporiadaná dvojica ${\displaystyle (X,d)}$, kde X je neprázdna množina a d je zobrazenie ${\displaystyle d:X^{2}\to \mathbb {R} }$ na usporiadaných dvojiciach prvkov X, nazývané metrika na X, pre ktoré sú splnené nasledujúce podmienky:

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$ a ${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$.
2. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)\,}$ (symetria).
3. ${\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)}$ (trojuholníková nerovnosť).

Zdroj

• Simmons, G. F.: Introduction to Topology and Modern Analysis. McGraw-Hill, 1963.

Externé odkazy

• FILIT – zdroj, z ktorého pôvodne čerpal tento článok.
• Metrické priestory