Среднее степенное

Среднее степени d (или просто среднее степенное) — разновидность среднего значения. Для набора положительных вещественных чисел определяется как

При этом по принципу непрерывности относительно показателя d доопределяются следующие величины:

Среднее степенное является частным случаем Колмогоровского среднего.

Наряду с понятием «среднее степенное», используют также среднее степенное взвешенное некоторых величин.

Другие названия

Так как среднее степени d обобщает известные с древности (т. н. архимедовы) средние, то его часто называют средним обобщённым.

По связи с неравенствами Минковского и Гёльдера среднее степенное имеет также названия: среднее по Гёльдеру и среднее по Минковскому.

Частные случаи

Средние степеней ±1 и 2 имеют собственные имена:

  • называется средним арифметическим;

(иначе говоря: средним арифметическим n чисел является их сумма, делённая на n)

  • называется средним гармоническим.

(иначе говоря: средним гармоническим чисел является обратная величина к среднему арифметическому их обратных)

  • называется средним квадратичным (квадратическим), известным так же под сокращением RMS (root-mean-square).
  • В статистической практике также находят применение степенные средние третьего и более высоких порядков. Наиболее распространёнными из них являются среднее кубическое и среднее биквадратическое значения.
  • Максимальное и минимальное число из набора положительных чисел выражаются как средние степеней и этих чисел:

Неравенство о средних

Неравенство о средних утверждает, что для любых

,

причём равенство достигается только в случае равенства всех аргументов .

Для доказательства неравенства о средних достаточно показать, что частная производная по неотрицательна и обращается в ноль только при (например, используя неравенство Йенсена), и далее применить формулу конечных приращений.

Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

Частным случаем неравенства о средних является неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

где каждое из неравенств обращается в равенство только при .

См. также

Ссылки