Первая теорема о среднем

Первая теорема о среднем значении — одна из теорем об определённом интеграле.

Формулировка

Пусть функция ${\displaystyle f(x)}$ интегрируема на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$, и ограничена на нём числами ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle M}$ так, что ${\displaystyle m\leq f(x)\leq M}$. Тогда существует такое число ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle m\leq \mu \leq M}$, что

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x=\mu (b-a)}$.

Доказательство

Из неравенства ${\displaystyle m\leq f(x)\leq M}$ по свойству монотонности интеграла имеем

${\displaystyle m(b-a)\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x\leq M(b-a)}$.

Обозначив ${\displaystyle \mu ={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x}$, получим требуемое утверждение. Так определённое число ${\displaystyle \mu }$ называют средним значением функции ${\displaystyle f(x)}$ на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$, откуда и название теоремы.

Замечание

Если функция ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на ${\displaystyle [a;b]}$, то в качестве ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle M}$ можно взять её наибольшее и наименьшее значения (которые, по теореме Вейерштрасса, достигаются), тогда по теореме о промежуточном значении существует такая точка ${\displaystyle c\in [a;b]}$, что ${\displaystyle f(c)=\mu }$, поэтому утверждение теоремы можно переписать в виде

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x=f(c)(b-a)}$.

Если воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница, то это равенство запишется как

${\displaystyle F(b)-F(a)=F'(c)\;(b-a)}$,

где ${\displaystyle F(x)}$ — первообразная функции ${\displaystyle f(x)}$, что есть не что иное, как формула Лагранжа для функции ${\displaystyle F(x)}$.

Обобщение

Пусть функции ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ интегрируемы на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$, причём по-прежнему ${\displaystyle m\leq f(x)\leq M}$, а вторая из них не меняет знак (то есть либо всюду неотрицательна: ${\displaystyle g(x)\geq 0}$, либо всюду неположительна ${\displaystyle g(x)\leq 0}$). Тогда существует такое число ${\displaystyle \mu }$, ${\displaystyle m\leq \mu \leq M}$, что

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x=\mu \int \limits _{a}^{b}g(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x}$.

Доказательство

Пусть ${\displaystyle g(x)}$ неотрицательна, тогда имеем

${\displaystyle mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)}$,

откуда, ввиду монотонности интеграла

${\displaystyle m\int \limits _{a}^{b}g(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x\leq M\int \limits _{a}^{b}g(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x}$.

Если ${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x=0}$, то из этого неравенства следует, что ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x=0}$, и утверждение теоремы выполняется при любом ${\displaystyle \mu }$. В противном случае положим

${\displaystyle \mu ={\frac {\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x}{\int \limits _{a}^{b}g(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x}}}$.

Обобщение доказано. Если функция ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна, можно утверждать, что существует точка ${\displaystyle c\in [a;b]}$ такая, что

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x=f(c)\int \limits _{a}^{b}g(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x}$

(аналогично предыдущему).

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1969. — Т. II.
• Зорич В. А. Математический анализ. Ч. I. — М.: Наука, 1981.