Q-критерий Кохрена

Q-критерий Кохрена (англ. Cochran's Q test) — непараметрический статистический тест, используемый для проверки того, оказывают ли два или более воздействий одинаковый эффект на группы^[англ.]. При этом отклик группы может принимать только 2 возможных значения (обозначаемых как 0 и 1)[1][2][3][4]. Критерий получил название по имени Уильяма Кохрена^[англ.]. Не следует путать Q-критерий Кохрена с G-критерием Кохрена. При использовании Q-критерия предполагается, что результат воздействия описывается только двумя типами (например, успех/неудача, 1/0) и существуют более чем 2 группы одинакового размера. Критерий определяет, является ли доля успеха одинаковой в разных группах. Часто он используется для определения того, получают ли разные наблюдатели одного и того же явления схожий результат (вариабельность субъективной экспертной оценки)[5].

Условия проведения экспериментов

Предполагается, что имеют место k > 2 экспериментальных воздействий и что наблюдения сгруппированы в b блоков^[англ.]

	Воздействие 1	Воздействие 2	${\displaystyle \cdots }$	Воздействие k
Блок 1	X11	X12	${\displaystyle \cdots }$	X1k
Блок 2	X21	X22	${\displaystyle \cdots }$	X2k
Блок 3	X31	X32	${\displaystyle \cdots }$	X3k
${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \ddots }$	${\displaystyle \vdots }$
Группа b	Xb1	Xb2	${\displaystyle \cdots }$	Xbk

Описание

Q-критерий Кохрена:

Нулевая гипотеза (H₀): воздействия имеют одинаковый эффект.

Альтернативная гипотеза (H_a): существует разница в эффективности различных воздействий.

Статистика Q-критерия Кохрена:

${\displaystyle T=k\left(k-1\right){\frac {\sum \limits _{j=1}^{k}\left(X_{\bullet j}-{\frac {N}{k}}\right)^{2}}{\sum \limits _{i=1}^{b}X_{i\bullet }\left(k-X_{i\bullet }\right)}}}$,

где

k — число воздействий,

X_{• j} — сумма по столбцу для j-го воздействий,

b — число групп,

X_{i •} — сумма по строке для i-й группы,

N — общая сумма.

Критическая область

Для уровня значимости α, критическая область:

${\displaystyle T>\chi _{1-\alpha ,k-1}^{2}}$

где Χ^2_{1 − α,k − 1} — (1 − α)-квантиль распределения хи-квадрат с k − 1 степенями свободы. Нулевая гипотеза отклоняется, если статистика находится в критической области. Если по Q-критерию отвергается нулевая гипотеза об одинаковом эффекте воздействий, могут быть осуществлены попарные множественные сравнения с применением Q-критерия Кохрена для оценки двух интересующих воздействий.

Примерное распределение статистики T может быть рассчитано для малого количества исследуемых объектов. Это позволяет примерно оценить критическую область. Первый алгоритм был предложен в 1975 году Патилем[6], второй — Фами и Белетуалем[7] в 2017 году.

Допущения

Q-критерий Кохрена применим при применении следующих допущений:

1. должно быть исследовано большое количество объектов, b должно быть большим.
2. группы должны быть выбраны случайно из всего возможного набора групп.
3. воздействие на группы может быть описано дихотомической переменной, которая принимает только 2 возможных значения (например, «0» или «1»)

Сопутствующие критерии

• Критерий Фридмана или критерий Дарбина^[англ.] могут быть использованы в случаях, когда отклик принимает не 2 значения, а несколько возможных или любое значение в некотором интервале.
• Когда речь идёт ровно о двух воздействиях, Q-критерий Кохрена эквивалентен критерию Мак-Немара^[англ.], который, в свою очередь, эквивалентен критерию знаков.

Ссылки

• «Q критерий Кохрена» на Портале Знаний

Примечания

1. Q критерий Кохрена  (неопр.). Дата обращения: 11 февраля 2019. Архивировано 12 февраля 2019 года.
2. William G. Cochran. The Comparison of Percentages in Matched Samples (англ.) // Biometrika : journal. — 1950. — December (vol. 37, no. 3/4). — P. 256—266. — doi:10.1093/biomet/37.3-4.256. — JSTOR 2332378.  (англ.)
3. Conover, William Jay. Practical Nonparametric Statistics (неопр.). — Third. — Wiley, New York, NY USA, 1999. — С. 388—395. — ISBN 9780471160687. (англ.)
4. National Institute of Standards and Technology. Cochran Test Архивная копия от 2 апреля 2019 на Wayback Machine (англ.)
5. Mohamed M. Shoukri. Measures of interobserver agreement (неопр.). — Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2004. — ISBN 9780203502594.  (англ.)
6. Kashinath D. Patil. Cochran’s Q test: Exact distribution (англ.) // Journal of the American Statistical Association : journal. — 1975. — March (vol. 70, no. 349). — P. 186—189. — doi:10.1080/01621459.1975.10480285. — JSTOR 2285400. (англ.)
7. Fahmy T.; Bellétoile A. Algorithm 983: Fast Computation of the Non-Asymptotic Cochran’s Q Statistic for Heterogeneity Detection (англ.) // ACM Transactions on Mathematical Software (TOMS) : journal. — 2017. — October (vol. 44, no. 2). — P. 1—20. — doi:10.1145/3095076. (англ.)