Критерий знаков

В математической статистике критерий знаков используется при проверке нулевой гипотезы о равенстве медианы некоторому заданному значению (для одной выборки) или о равенстве нулю медианы разности (для двух связанных выборок).[1] Это непараметрический критерий, то есть он не использует никаких данных о характере распределения, и может применяться в широком спектре ситуаций, однако при этом он может иметь меньшую мощность, чем более специализированные критерии.

Описание метода для двух выборок

Рассмотрим две непрерывно распределенные случайные величины X и Y, и пусть нулевая гипотеза выполняется, то есть медиана их разности равна нулю. Тогда ${\displaystyle p=\mathbb {P} (X>Y)=0.5}$. Иными словами, каждая из случайных величин равновероятно больше другой.

Рассмотрим пару связных выборок ${\displaystyle \{(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})\}}$. Будем считать, что в выборке нет элементов, для которых ${\displaystyle x_{i}=y_{i}}$ (иначе уберем эти элементы из выборки). Построим статистику w, равную числу элементов в выборке, при которых ${\displaystyle x_{i}>y_{i}}$. При выполнении нулевой гипотезы, эта величина имеет биномиальное распределение: ${\displaystyle w\sim B(n,0.5)}$.

Для применения критерия необходимо вычислить «левый хвост» биномиального распределения до w: ${\displaystyle b=2^{-n}\sum _{i=0}^{w}C_{n}^{i}}$. Согласно критерию, при уровне значимости ${\displaystyle \alpha }$:

• против двусторонней альтернативной гипотезы ${\displaystyle p\neq 0.5}$

если ${\displaystyle b\not \in \left[\alpha /2,\,1-\alpha /2\right]}$, то нулевая гипотеза отвергается;

• против альтернативы ${\displaystyle p<0.5}$

если ${\displaystyle b<\alpha }$, то нулевая гипотеза отвергается;

• против альтернативы ${\displaystyle p>0.5}$

если ${\displaystyle b>1-\alpha }$, то нулевая гипотеза отвергается;

Пример задачи

Первая выборка — это значения некоторой характеристики состояния пациентов, записанные до лечения. Вторая выборка — это значения той же характеристики состояния тех же пациентов, записанные после лечения.

Порядок элементов (в данном случае пациентов) в выборках и объёмы выборок обязаны совпадать. Такие выборки и называются связанными.

Требуется выяснить, является ли лечение эффективным, то есть имеется ли значимое отличие в состоянии пациентов до и после лечения, или различия чисто случайны.

Заданы две выборки одинаковой длины ${\displaystyle x^{n}=(x_{1},\ldots ,x_{n}),\;x_{i}\in \mathbb {R} ;\;\;y^{n}=(y_{1},\ldots ,y_{n}),\;y_{i}\in \mathbb {R} }$.

Дополнительные предположения:

• обе выборки простые;
• выборки связные, то есть элементы ${\displaystyle x_{i},\,y_{i}}$ соответствуют одному и тому же объекту, но измерения сделаны в разные моменты (например, до и после обработки).

Нулевая гипотеза ${\displaystyle H_{0}:\;\mathbb {P} \{x>y\}=1/2}$.

Если в выборке имеются случаи ${\displaystyle x_{i}=y_{i}}$, то их следует исключить из выборки, уменьшив число наблюдений. Статистика критерия — это число w элементов в выборке, при которых ${\displaystyle x_{i}>y_{i}}$.

Ссылки

• Критерий знаков // MachineLearning.ru.

1. The Sign Test for a Median Архивная копия от 29 сентября 2017 на Wayback Machine // STAT 415 Intro Mathematical Statistics. Penn State University.