Циркулянт

Циркулянт или циркулянтная матрица — это матрица вида

${\displaystyle C={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\\a_{n}&a_{1}&\cdots &a_{n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{1}\\\end{pmatrix}},}$

где все ${\displaystyle a_{i}}$ — комплексные числа[1]. Циркулянт можно также кратко описать как ${\displaystyle C_{ij}=a_{j-i+1{\pmod {n}}},\ i,j=1,\ldots ,n}$[2]. Таким образом, циркулянт — это матрица, в которой любая следующая строка (столбец), начиная с первой (с первого) получается циклической алфавитной перестановкой элементов предыдущей строки (столбца). Любая циркулянтная матрица по определению является тёплицевой.

Также циркулянтом часто называют определитель такой матрицы[3].

Свойства

Пусть ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — циркулянтные матрицы. Тогда выполняются следующие свойства[4].

• ${\displaystyle AB=BA}$ и ${\displaystyle AB}$ — циркулянт.
• Матрицы ${\displaystyle {\overline {A}}}$ (поэлементно комплексно сопряжённая), ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$ (транспонированная) и ${\displaystyle A^{*}}$ (эрмитово сопряжённая) — циркулянтные.
• Матрица ${\displaystyle A^{k}}$ циркулянтная при ${\displaystyle k\geqslant 0}$.
• Если ${\displaystyle A}$ невырождена, то ${\displaystyle A^{-1}}$ циркулянтная.
• Матрица ${\displaystyle A}$ — персимметричная и нормальная.

Определитель

Обозначим ${\displaystyle \zeta }$ первообразный корень из единицы степени ${\displaystyle n}$. Тогда имеет место следующая формула для определителя циркулянта ${\displaystyle C}$:

${\displaystyle \operatorname {det} C=\prod \limits _{k=0}^{n-1}(a_{1}+a_{2}\zeta ^{k}+\ldots +a_{n-1}\zeta ^{k(n-2)}+a_{n}\zeta ^{k(n-1)}).}$

Доказательство

Обозначим ${\displaystyle f(x)=a_{1}+a_{2}x+\ldots +a_{n}x^{n-1}}$ и ${\displaystyle \zeta _{k}=\zeta ^{k}}$. Умножим циркулянт справа на определитель Вандермонда вида ${\displaystyle |\zeta _{j}^{i-1}|_{n\times n}}$:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\\a_{n}&a_{1}&\cdots &a_{n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{1}\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\\zeta _{1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}&\zeta _{2}^{n-1}&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}f(\zeta _{1})&f(\zeta _{2})&\cdots &f(\zeta _{n})\\\zeta _{1}f(\zeta _{1})&\zeta _{2}f(\zeta _{2})&\cdots &\zeta _{n}f(\zeta _{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}f(\zeta _{1})&\zeta _{2}^{n-1}f(\zeta _{2})&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}f(\zeta _{n})\end{vmatrix}}=}$

${\displaystyle =f(\zeta _{1})f(\zeta _{2})\ldots f(\zeta _{n})\cdot {\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\\zeta _{1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}&\zeta _{2}^{n-1}&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}\end{vmatrix}}.}$

Далее сокращаем определитель Вандермонда как ненулевой.■

Иными словами, собственные числа циркулянта равны дискретному преобразованию Фурье вектора ${\displaystyle \left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)}$[3].

Примеры

Для ${\displaystyle n=2}$ определитель циркулянта равен:

${\displaystyle \operatorname {det} {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}\\a_{2}&a_{1}\end{pmatrix}}=(a_{1}-a_{2})(a_{1}+a_{2})=a_{1}^{2}-a_{2}^{2}.}$

Для ${\displaystyle n=3,\zeta ^{3}=1,\zeta \neq 1}$:

${\displaystyle \operatorname {det} {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\a_{3}&a_{1}&a_{2}\\a_{2}&a_{3}&a_{1}\end{pmatrix}}=(a_{1}+a_{2}+a_{3})(a_{1}+a_{2}\zeta +a_{3}\zeta ^{2})(a_{1}+a_{2}\zeta ^{2}+a_{3}\zeta )=a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3}-3a_{1}a_{2}a_{3}.}$

Связанные определения

Антициркулянт

Антициркулянт — это матрица аналогичного вида[5]:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}&-a_{n}&-a_{n-1}&\cdots &-a_{2}\\a_{2}&a_{1}&-a_{n}&\cdots &-a_{3}\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&\cdots &-a_{4}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}\\\end{pmatrix}}.}$

Косоциркулянт

Матрица вида

${\displaystyle \left({\begin{array}{ccccc}a_{1}&\varphi a_{n}&\varphi a_{n-1}&\cdots &\varphi a_{2}\\a_{2}&a_{1}&\varphi a_{n}&\cdots &\varphi a_{3}\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&\cdots &\varphi a_{4}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}\end{array}}\right)}$

называется ${\displaystyle \varphi }$-косоциркулянтом порядка ${\displaystyle n}$ при ${\displaystyle \varphi \neq 0}$[6].

Очевидно, что циркулянт является ${\displaystyle (1)}$-косоциркулянтом, а антициркулянт — ${\displaystyle (-1)}$-косоциркулянтом.

См. также

• Ганкелева матрица

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Circulant Matrix (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Примечания

1. Aldrovandi, 2001, p. 83.
2. Davis, 1979, p. 66.
3. Aldrovandi, 2001, p. 84.
4. Bernstein, D. S.. Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas (англ.). — 2nd ed.. — Princeton University Press, 2009. — P. 356. — ISBN 978-0-691-13287-7.
5. Bini, Pan, 1994, p. 132.
6. Воеводин, Тыртышников, 1987, с. 47.

Литература

• Мальцев, А. И. Основы линейной алгебры (рус.). — М.: Наука, 1975. — 400 с.
• Davis, P. J.. Circulant Matrices (англ.). — John Wiley & Sons, 1979. — ISBN 0-471-05771-1.
• Aldrovandi, R.. Special matrices of mathematical physics: stochastic, circulant and Bell matrices (англ.). — World Scientific, 2001. — ISBN 9810247087.
• Bini, D., Pan, V. Y. Polynomial and matrix computations (англ.). — Birkhäuser Boston, 1994. — ISBN 0-8176-3786-9.
• Воеводин, В. В., Тыртышников, Е. Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами (рус.). — М.: Наука, 1987. — 320 с.