Центральная прямая

Центральные прямые — это некоторые специальные прямые, связанные с треугольником и лежащие в плоскости треугольника. Особое свойство, которое отличает прямые как центральные прямые, проявляется через уравнение прямой в трилинейных координатах. Это особое свойство также связано с понятием центр треугольника^[англ.]. Понятие центральной прямой было введено Кларком Кимберлингом в статье, опубликованной в 1994 году[1][2].

Определение

Пусть ABC — треугольник, и пусть (x : y : z) — трилинейные координаты произвольной точки в плоскости треугольника ABC. Прямая линия в плоскости треугольника ABC будет центральной прямой треугольника ABC, если её уравнение в трилинейных координатах имеет вид

f (a, b, c) x + g (a, b, c) y + h (a, b, c) z = 0

где точка с трилинейными координатами (f (a, b, c) : g (a, b, c) : h (a, b, c)) является центром плоского треугольника ABC.[3][4][2]

Центральные прямые как трилинейные поляры

Геометрически связь между центральной прямой и связанным с ней центром может быть выражена с использованием термина трилинейной поляры и изогонального сопряжения. Пусть X = (u (a, b, c) : v (a, b, c) : w (a, b, c)) — центр треугольника. Тогда уравнение трилинейной поляры треугольного центра X есть[5][2]

x / u (a, b, c) + y / v (a, b, c) y + z / w (a, b, c) = 0.

Аналогично Y = (1 / u (a, b, c) : 1 / v (a, b, c) : 1 / w (a, b, c)) является изогональным сопряжением центра X.

Таким образом, центральная прямая, описываемая уравнением

f (a, b, c) x + g (a, b, c) y + h (a, b, c) z = 0,

является трилинейной полярой при изогональном сопряжении центра (f (a, b, c) : g (a, b, c) : h (a, b, c)).

Построение центральных прямых

Пусть X — любой центр треугольника ABC.

• Проведём прямые AX, BX и CX и построим их отражения относительно биссектрис углов треугольника при вершинах соответственно A, B, C.
• Отражённые прямые пересекутся, и точка их пересечения будет изогональным сопряжением Y точки X.
• Пусть чевианы AY, BY, CY пересекают противоположные стороны треугольника ABC в точках A' , B' , C' . Тогда треугольник A’B’C' является чевианным треугольником точки Y.
• Треугольник ABC и чевианный треугольник A’B’C' находятся в перспективе, и пусть прямая DEF — ось перспективности двух треугольников. Прямая DEF — трилинейная поляра точки Y. Прямая DEF — центральная прямая, связанная с центром X.

Некоторые именные центральные прямые

Пусть X_n — n-й центр треугольника в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга. Центральная прямая, связанная с X_n обозначается как Ln. Некоторые именные центральные линии даются ниже.

Антиортовая ось (Antiorthic axis) как ось перспективности треугольника ABC и его треугольника трех центров вневписанных окружностей (треугольник трёх внешних биссектрис)

Центральная прямая, связанная с X₁, то есть с центром вписанной окружности: антиортовая ось

Центральная прямая, связанная с инцентром X₁ = (1 : 1 : 1) (также обозначаемым как I) даётся уравнением

x + y + z = 0.

Эта прямая является антиортовой осью треугольника ABC.[6]

• Изогонально сопряженный инцентру треугольника ABC центр — это сам инцентр. Таким образом, антиортовая ось, которая является центральной линией, связанной с инцентром, является осью перспективности треугольника ABC и чевианного треугольник инцентра треугольника ABC.
• Антиортовая ось треугольника ABC является осью перспективности треугольника ABC и треугольника центров трёх вневписанных окружностей (треугольник трёх внешних биссектрис) I₁I₂I₃ треугольника ABC.[7]
• Треугольник, боковые стороны которого внешне касаются трёх центров вневписанных окружностей треугольника ABC является внешне тангенцальным треугольником (the extangents triangle) треугольника ABC. Треугольник ABC и его внешне тангенцальный треугольник находятся в перспективе, и ось их перспективности является антиортовой осью треугольника ABC.

Ось Лемуана — трилинейная поляра точки Лемуана показана красным цветом

Центральная прямая, связанная с X₂, то есть с центроидом: ось Лемуана

Трилинейное координаты центроида X₂ (также обозначается как G) треугольника ABC есть (1 / a : 1 / b : 1 / c). Таким образом, центральная прямая, связанная с центроидом (центром тяжести) в трилинейных координатах задаётся уравнением

x / a + y / b + z / c = 0.

Эта прямая является осью Лемуана треугольника ABC.

• Изогонально сопряженная центроиду X₂ точка является точкой Лемуана X₆ (точка пересечения трёх симедиантреугольника) (также обозначается как K), имеющая трилинейные координаты (a : b : c). Таким образом, ось Лемуана треугольника ABC является трилинейной полярой точки пересечения симедиан треугольника ABC.
• Тангенциальный треугольник треугольника ABC является треугольник T_AT_BT_C, образованный касательными к окружности треугольника ABC в его вершинах. Треугольник ABC и его тангенциальный треугольник находятся в перспективе, а их осью перспективности является ось Лемуана треугольника ABC.

Центральная прямая, связанная с X₃, то есть с центром описанной окружности: Ось высот (Orthic axis)

Трилинейные координаты центра описанной окружности X₃ (также обозначается как O) треугольника ABC есть (cos A : cos B : cos C). Таким образом, центральная прямая, связанная с центром описанной окружности в трилинейных координатах задаётся уравнением

x cos A + y cos B + z cos C = 0.

Эта прямая является осью высот треугольника ABC.[8]

• Изогональным сопряжением центра описанной окружности X₆ является ортоцентр X₄ (также обозначается как H), имеющий трилинейные координаты (sec A : sec B : sec C). Таким образом, ось высот треугольника ABC является трилинейной полярой ортоцентра для треугольника ABC. Ось высот треугольника ABC является осью перспективности треугольника ABC и его треугольника высот (orthic triangle) H_AH_BH_C.

Центральная прямая, связанная с X₄, то есть с ортоцентром

Центральная линия, связанная с центром описанной окружности

Трилинейные координаты ортоцентра X₄ ((также обозначается как H) треугольника ABC есть(sec A : sec B : sec C). Таким образом, центральная прямая, связанная с центром описанной окружности в трилинейных координатах задаётся уравнением

x sec A + y sec B + z sec C = 0.

• Изогональным сопряжением ортоцентра треугольника является центр описанной окружности треугольника. Таким образом, центральная прямая, связанная с ортоцентром, является трилинейной полярой центра описанной окружности.

Центральная прямая, связанная с X₅, то есть с центром окружности девяти точек

Трилинейные координаты центра окружности девяти точек X₅ (также обозначается как N) треугольника ABC есть (cos (B − C) : cos (C − A) : cos (A − B)).[9]. Таким образом, центральная прямая, связанная с центром окружности девяти точек в трилинейных координатах задаётся уравнением

x cos (B − C) + y cos (C − A) + z cos (A − B) = 0.

• Изогональное сопряжение центра окружности девяти точек треугольника ABC есть точка Коснита X₅₄ треугольника ABC.[10][11]. Таким образом, центральная прямая, связанная с центром окружности девяти точек является трилинейной полярой для точки Коснита.
• Точка Коснита строится следующим образом. Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC. Пусть O_A, O_B, O_C — центры описанных окружностей соответственно треугольников BOC, COA, AOB.Прямые AO_A, BO_B, CO_C пересекаются в одной точке, и точка их пересечения это — точка Коснита для треугольника ABC. Ее название связано J. Rigby.[12]

Центральная прямая, связанная с X₆, то есть с точкой пересечения симедиан: бесконечно удаленная прямая

Трилинейные координаты точки пересечения трех симедиан (Точка Лемуана) X₆ (также обозначается как K) треугольника ABC есть (a : b : c). Таким образом, центральная прямая, связанная с точкой пересечения трех симедиан в трилинейных координатах задаётся уравнением

a x + b y + c z =0.

• Эта линия является бесконечно удаленной прямой в плоскости треугольника ABC.
• Изогональное сопряжённой к точке пересечения симедиан треугольника ABC является центроидом треугольника ABC. Таким образом, центральная прямая, связанная с точкой пересечения симедиан, является трилинейной полярой центроида. Она является осью перспективности треугольника ABC и его дополнительного треугольника (он же — серединный треугольник = medial triangle).

Некоторые другие именные центральные прямые

Прямая Эйлера

Прямая Эйлера треугольника ABC является прямой, проходящей через центр тяжести, ортоцентр и центр описанной окружности треугольника ABC. Её уравнение в трилинейных координатах есть

x sin 2A sin (B − C) + y sin 2B sin (C − A) + z sin 2C sin (C − A) = 0.

Это центральная прямая, связанная с точкой X₆₄₇.

Ось Брокара

Ось Брокара треугольника ABC является прямой, проходящей через центр описанной окружности треугольника и точку пересечения трех симедиан треугольника ABC. Её уравнение в трилинейных координатах есть

x sin (B — C) + y sin (C — A) + z sin (A — B) = 0.

Эта центральная прямая связана с центром X₅₂₃.

См. также

• Трилинейные поляры треугольника
• Полюс и поляра

Примечания

1. Kimberling, Clark. Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 1994. — June (vol. 67, no. 3). — P. 163—187. — doi:10.2307/2690608.
2. Kimberling, Clark. Triangle Centers and Central Triangles (неопр.). — Winnipeg, Canada: Utilitas Mathematica Publishing, Inc., 1998. — С. 285. Архивировано 10 марта 2016 года.
3. Weisstein, Eric W. Central Line  (неопр.). From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Дата обращения: 24 июня 2012. Архивировано 17 сентября 2012 года.
4. Kimberling, Clark. Glossary : Encyclopedia of Triangle Centers  (неопр.). Дата обращения: 24 июня 2012. Архивировано 23 апреля 2012 года.
5. Weisstein, Eric W. Trilinear Polar  (неопр.). From MathWorld--A Wolfram Web Resource.. Дата обращения: 28 июня 2012. Архивировано 17 августа 2012 года.
6. Weisstein, Eric W. Antiorthic Axis  (неопр.). From MathWorld--A Wolfram Web Resource.. Дата обращения: 28 июня 2012. Архивировано 18 августа 2012 года.
7. Weisstein, Eric W. Antiorthic Axis  (неопр.). From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Дата обращения: 26 июня 2012. Архивировано 18 августа 2012 года.
8. Weisstein, Eric W. Orthic Axis  (неопр.). From MathWorld--A Wolfram Web Resource.. Дата обращения: 19 апреля 2016. Архивировано 29 апреля 2016 года.
9. Weisstein, Eric W. Nine-Point Center  (неопр.). From MathWorld--A Wolfram Web Resource.. Дата обращения: 29 июня 2012. Архивировано 6 мая 2012 года.
10. Weisstein, Eric W. Kosnita Point  (неопр.). From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Дата обращения: 29 июня 2012. Архивировано 6 мая 2012 года.
11. Darij Grinberg. On the Kosnita Point and the Reflection Triangle (англ.) // Forum Geometricorum^[англ.] : journal. — 2003. — Vol. 3. — P. 105—111. Архивировано 4 марта 2016 года.
12. J. Rigby. Brief notes on some forgotten geometrical theorems (неопр.) // Mathematics & Informatics Quarterly. — 1997. — Т. 7. — С. 156—158.