Характер кубического вычета

Характер кубического вычета — теоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета^[англ.]. Также является характером в простом поле.

Характер кубического вычета является аналогом символа Лежандра, и для его вычисления используется кубический закон взаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.

Определение

Пусть

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}}$ -

кубический корень из единицы.

Рассмотрим D=Z[w] — кольцо чисел Эйзенштейна, то есть чисел вида

${\displaystyle \alpha =a+b\,\omega }$,

где a и b — целые числа.

Пусть ${\displaystyle \pi }$ — простое в кольце D с нормой ${\displaystyle N(\pi )}$, такое что ${\displaystyle N(\pi )\neq 3}$. В этом случае ${\displaystyle N(\pi )-1}$ делится на 3. Определим характер кубического вычета следующим образом:

• ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=0}$, если ${\displaystyle \alpha }$ делится на ${\displaystyle \pi }$.
• ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\alpha ^{(N(\pi )-1)/3}\mod \pi }$ иначе.

Заметим, что при ${\displaystyle \pi }$, не делящем ${\displaystyle \alpha }$ , значение характера кубического вычета принимает одно из трёх значений: ${\displaystyle \{1,\ \omega ,\ \omega ^{2}\}}$.

Кубический закон взаимности

Назовём ${\displaystyle \pi }$ примарным, если оно является простым в D и сравнимо с 2 по модулю 3. Пусть ${\displaystyle \pi }$ и ${\displaystyle \theta }$ — примарные, тогда

${\displaystyle \left({\frac {\pi }{\theta }}\right)_{3}=\left({\frac {\theta }{\pi }}\right)_{3}}$

Другие свойства характера кубического вычета

• ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=1}$ тогда и только тогда, когда сравнение ${\displaystyle x^{3}\equiv \alpha \mod {\pi }}$ разрешимо в Z[ω], то есть тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \alpha }$ — кубический вычет
• Мультипликативность: ${\displaystyle \left({\frac {\alpha \beta }{\pi }}\right)_{3}=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}\cdot \left({\frac {\beta }{\pi }}\right)_{3}}$
• Периодичность: если ${\displaystyle \alpha \equiv \beta \mod {\pi }}$, то ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{3}=\left({\frac {\beta }{\pi }}\right)_{3}}$
• Если ${\displaystyle \pi =-1+3(m+n\omega )}$ — примарное, то

• ${\displaystyle \left({\frac {\omega }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{m+n}}$
• ${\displaystyle \left({\frac {1-\omega }{\pi }}\right)_{3}=\omega ^{2m}}$

Список литературы

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва: Мир, 1987.

• Franz Lemmermeyer. Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein. — Springer Verlag, 2000. — ISBN 3-540-66957-4.