Характер биквадратичного вычета

Характер биквадратичного вычета — теоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета. Также является характером в простом поле.

Характер биквадратичного вычета является аналогом символа Лежандра, и для его вычисления используется биквадратичный закон взаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.

Определение

Рассмотрим D=Z[i] — кольцо целых гауссовых чисел, то есть чисел вида ${\displaystyle \alpha =a+b\,i}$, где a и b — целые числа.

Пусть ${\displaystyle \pi }$ — простое в кольце D, с нормой ${\displaystyle N\pi }$. Характер биквадратичного вычета определяется следующим образом:

• ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}=0}$, если ${\displaystyle \alpha }$ делится на ${\displaystyle \pi }$.
• ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}=1}$, если ${\displaystyle \alpha }$ не делится на ${\displaystyle \pi }$ и ${\displaystyle N\pi =2}$.
• Во всех остальных случаях ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}}$ — одно из значений ${\displaystyle \{1,\ -1,\ i,\ -i\}}$, лежащее в классе вычетов ${\displaystyle \alpha ^{(N\pi -1)/4}\mod \pi }$ (такое значение однозначно определено).

Биквадратичный закон взаимности

Назовём ${\displaystyle \alpha }$, не являющееся единицей, примарным, если оно сравнимо с 1 по модулю идеала ${\displaystyle ((1+i)^{3})}$. При этом неединица ${\displaystyle \alpha =a+b\,i}$ примарна тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a\equiv 1{\pmod {4}}}$, ${\displaystyle b\equiv 0{\pmod {4}}}$ или ${\displaystyle a\equiv 3{\pmod {4}}}$, ${\displaystyle b\equiv 2{\pmod {4}}}$.

Пусть ${\displaystyle \pi }$ и ${\displaystyle \theta }$ — взаимно простые примарные элементы в D, тогда

${\displaystyle \left({\frac {\pi }{\theta }}\right)_{4}=\left({\frac {\theta }{\pi }}\right)_{4}(-1)^{{\frac {N\pi -1}{4}}{\frac {N\theta -1}{4}}}}$

Другие свойства характера биквадратичного вычета

• ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}=1}$ тогда и только тогда, когда сравнение ${\displaystyle x^{4}\equiv \alpha \mod {\pi }}$ разрешимо, то есть тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \alpha }$ — биквадратичный вычет
• Мультипликативность: ${\displaystyle \left({\frac {\alpha \beta }{\pi }}\right)_{4}=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}\cdot \left({\frac {\beta }{\pi }}\right)_{4}}$
• Периодичность: если ${\displaystyle \alpha \equiv \beta \mod {\pi }}$, то ${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}=\left({\frac {\beta }{\pi }}\right)_{4}}$
• Если ${\displaystyle \pi =a+bi}$ — простое примарное, то ${\displaystyle \left({\frac {-1}{\pi }}\right)_{4}=(-1)^{\frac {a-1}{2}}}$

Список литературы

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва: Мир, 1987.

• Franz Lemmermeyer. Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein. — Springer Verlag, 2000. — ISBN 3-540-66957-4.