Функция Мангольдта

Функция Мангольдта — арифметическая функция ${\displaystyle \Lambda (n)}$, равная ${\displaystyle \ln p}$, если ${\displaystyle n=p^{m}}$ — степень простого числа, в противном случае ${\displaystyle \Lambda (n)=0}$. Кратко:

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\ln p,\quad &n=p^{m}\\0,\ \quad &n\neq p^{m}\end{cases}}}$

Функция Мангольдта предложена X. Мангольдтом в 1894-м году. Используется для доказательства закона распределения простых чисел вообще и в арифметических прогрессиях.

Свойства

• Из определения следует, что

${\displaystyle \sum \limits _{d\mid n}\Lambda (d)=\ln n}$

• С помощью формулы обращения Мёбиуса из предыдущей формулы получаем

${\displaystyle \Lambda (n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\ln {\frac {n}{d}}=-\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\ln d}$

Связь с распределением простых чисел

• Связь с дзета-функцией Римана :${\displaystyle \ln \zeta (s)=\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}\ln n}},\ \operatorname {Re} s>1}$
• ${\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}},\ \operatorname {Re} s>1}$
• Аналогичные соотношения имеют место и для L-функций Дирихле:

${\displaystyle \ln L(s,\chi )=\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {\chi (n)\Lambda (n)}{n^{s}\ln n}},\ \operatorname {Re} s>1}$

${\displaystyle -{\frac {L'(s,\chi )}{L(s,\chi )}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)\Lambda (n)}{n^{s}}},\ \operatorname {Re} s>1}$

• ${\displaystyle \sum \limits _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n}}\sim \ln x}$
• ${\displaystyle \sum \limits _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n\ln n}}=\ln \ln x+\gamma +O(e^{-c{\sqrt {\ln x}}}),}$ где ${\displaystyle \gamma }$ — постоянная Эйлера
• Пси-функция Чебышёва — сумматорная функция функции Мангольдта

${\displaystyle \psi (x)=\sum \limits _{n\leqslant x}\Lambda (n)}$

• Формула Перрона, примененная к предыдущему соотношению, даёт

${\displaystyle {\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=-s\int \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{1+s}}}dx,\ \operatorname {Re} s>1}$

Литература

• Прахар. Распределение простых чисел. — М.: Мир, 1967.