Фуксова особая точка

В теории дифференциальных уравнений с комплексным временем, точка ${\displaystyle t=t_{0}\in \mathbb {C} }$ называется фуксовой особой точкой линейного дифференциального уравнения

${\displaystyle {\dot {z}}=A(t)z,\quad z\in \mathbb {C} ^{n},\quad t\in \mathbb {C} ,}$

если матрица системы A(t) имеет в ней полюс первого порядка. Это — простейшая возможная особенность линейного дифференциального уравнения с комплексным временем.

Говорят также, что ${\displaystyle t=\infty }$ является фуксовой особой точкой, если точка ${\displaystyle s=0}$ оказывается фуксовой после замены ${\displaystyle t=1/s}$, иными словами, если матрица системы ${\displaystyle A(t)}$ стремится к нулю на бесконечности.

Простейший пример

Одномерное дифференциальное уравнение ${\displaystyle {\dot {z}}={\frac {a}{t}}z}$ имеет фуксову особую точку в нуле, а его решениями являются (вообще говоря, многозначные) функции ${\displaystyle z(t)=C\cdot t^{a}}$. При обходе вокруг нуля решение при этом умножается на ${\displaystyle \lambda =e^{2\pi ia}}$.

Рост решений и отображение монодромии

При приближении к фуксовой особой точке в любом секторе норма решения растёт не быстрее, чем полиномиально:

${\displaystyle \|z(t-t_{0})\|\leq C\|t-t_{0}\|^{-N}}$

для некоторых констант ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle N}$. Тем самым, всякая фуксова особая точка является регулярной.

Нормальная форма Пуанкаре-Дюлака-Левелля

Основная статья: Нормальная форма Пуанкаре — Дюлака

21-я проблема Гильберта

Двадцать первая проблема Гильберта состояла в том, чтобы при заданных точках на сфере Римана и представлении фундаментальной группы дополнения к ним построить систему дифференциальных уравнений с фуксовыми особенностями в этих точках, для которой монодромия оказывается заданным представлением. Долгое время считалось, что эта проблема была положительно решена Племелем (опубликовавшим решение в 1908 году), однако в его решении в 1970-х годах Ю. С. Ильяшенко была обнаружена ошибка. На самом деле, конструкция Племеля позволяла строить требуемую систему при диагонализуемости хотя бы одной из матриц монодромии.[1]

В 1989 году А. А. Болибрухом был опубликован[2] пример набора особых точек и матриц монодромии, который не может быть реализован никакой фуксовой системой — тем самым, отрицательно решающий проблему.

Литература

1. Ю. С. Ильяшенко, «Нелинейная проблема Римана-Гильберта», Дифференциальные уравнения с вещественным и комплексным временем, Сборник статей, Тр. МИАН, 213, Наука, М., 1997, с. 10-34.
2. А. А. Болибрух, «Проблема Римана-Гильберта на комплексной проективной прямой», Матем. заметки, 46:3 (1989), 118—120

• А. А. Болибрух, Обратные задачи монодромии в аналитической теории дифференциальных уравнений, М.: МЦНМО, 2009.
• Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko, Lectures on Analytic Differential Equations, AMS, 2007.