Задача упаковки кругов в правильный треугольник — это задача упаковки, в которой требуется упаковать n единичных окружностей в наименьший правильный треугольник. Оптимальные решения известны для n < 13 и для любого треугольного числа кругов. Имеются гипотезы для числа кругов n < 28[1][2][3].
Гипотеза Пала Эрдёша и Нормана Олера утверждает, что в случае, когда n является треугольным числом, оптимальная упаковка n − 1 и n кругов имеет одну и ту же длину стороны. То есть, согласно гипотезе, оптимальное решение для n − 1 кругов можно получить путём удаление одного круга из оптимальной шестиугольной упаковки n кругов[4][5].
Минимальные по длине стороны треугольника решения[1]:
Число кругов
Длина стороны треугольника
1
= 3.464...
2
= 5.464...
3
= 5.464...
4
= 6.928...
5
= 7.464...
6
= 7.464...
7
= 8.928...
8
= 9.293...
9
= 9.464...
10
= 9.464...
11
= 10.730...
12
= 10.928...
13
= 11.406...
14
= 11.464...
15
= 11.464...
Близкая задача — покрытие правильного треугольника заданным числом кругов с как можно меньшим радиусом[6].
Norman Oler. A finite packing problem // Canadian Mathematical Bulletin. — 1961. — Т. 4. — С. 153–155. — doi:10.4153/CMB-1961-018-7.
Charles Payan. Empilement de cercles égaux dans un triangle équilatéral. À propos d'une conjecture d'Erdős-Oler (Fr) // Discrete Mathematics. — 1997. — Т. 165/166. — С. 555–565. — doi:10.1016/S0012-365X(96)00201-4.