Задачи упаковкиЗадачи упаковки — класс задач оптимизации в математике, в которых пытаются упаковать объекты в контейнеры. Цель упаковки — либо упаковать отдельный контейнер как можно плотнее, либо упаковать все объекты, использовав как можно меньше контейнеров. Многие из таких задач могут относиться к упаковке предметов в реальной жизни, вопросам складирования и транспортировки. Каждая задача упаковки имеет двойственную задачу о покрытии[англ.], в которой спрашивается, как много требуется некоторых предметов, чтобы полностью покрыть все области контейнера, при этом предметы могут накладываться. В задаче упаковки задано:
Обычно в упаковке объекты не должны пересекаться и объекты не должны пересекать стены контейнера. В некоторых вариантах цель заключается в нахождении конфигурации, которая упаковывает один контейнер с максимальной плотностью. В более общем виде целью является упаковка всех объектов в как можно меньше контейнеров[1]. В некоторых вариантах наложение (объектов друг на друга и/или на границы контейнера) разрешается, но это наложение должно быть минимизировано. Упаковка бесконечного пространстваМногие из этих задач, если размер контейнера увеличивается во всех направлениях, становятся эквивалентны задачам упаковки объектов как можно плотнее в бесконечном евклидовом пространстве. Эта задача относится к некоторому числу научных дисциплин и получает существенное внимание. Гипотеза Кеплера постулировала оптимальное решение упаковки шаров за сотни лет до того, когда была доказана Томасом Хейлзом[англ.]. Получили внимание другие формы, включая эллипсоиды [2], платоновы и архимедовы тела [3], в том числе тетраэдры[англ.][4][5] и димеры различных сфер [6]. Шестиугольная упаковка круговЭти задачи математически отличаются от идей в теореме об упаковке кругов. Связанная задача упаковки кругов имеет дело с упаковкой кругов, возможно различных размеров, на поверхности, например, на плоскости или сфере. Аналоги круга в других размерностях не могут быть упакованы с абсолютной эффективностью в размерностях, больших единицы (в одномерном пространстве аналог окружности — просто две точки). Таким образом, всегда останется незанятое пространство при упаковке исключительно кругами. Наиболее эффективный путь упаковки кругов, шестиугольная упаковка, даёт примерно 91 % эффективности[7]. Упаковка сфер в высших размерностяхВ трёхмерном пространстве гранецентрированная решётка даёт оптимальную упаковку сфер. Доказано, что 8-мерная решётка E8 и 24-мерная решётка Лича оптимальны в соответствующих пространствах. Упаковка платоновых тел в трёхмерных пространствахКубы легко могут быть расположены в трёхмерном пространстве так, что они полностью заполнят пространство. Наиболее естественная упаковка — кубические соты. Никакой другой правильный многогранник не может заполнить полностью пространство, но некоторые результаты известны. Тетраэдр может дать упаковку по меньшей мере 85 %. Одна из лучших упаковок правильными додекаэдрами основывается на вышеупомянутой гранецентрированной кубической решётке. Тетраэдры и октаэдры вместе могут заполнить всё пространство в конфигурации, известной как тетраэдрально-октаэдральная мозаика[англ.].
Моделирование, совмещающее методы локального улучшения со случайно сгенерированными упаковками, наводит на мысль, что решётчатые упаковки для икосаэдра, додекаэдра и октаэдра являются оптимальными и в более широком классе всех упаковок[3]. Упаковка в 3-мерные контейнерыСферы в евклидов шарЗадача нахождения наименьшего шара, в который можно упаковать без перекрытия открытых единичных шаров, имеет простой и полный ответ в -мерном евклидовом пространстве, если , а в бесконечномерном гильбертовом пространстве — без ограничений. Имеет смысл описать его здесь с целью показать общую проблему. В этом случае возможна конфигурация попарно касающихся единичных шаров. Разместим центры в вершинах правильного мерного симплекса с ребром 2. Это легко сделать, начав с ортонормированного базиса. Лёгкие вычисления показывают, что расстояние от любой вершины до центра тяжести равно . Кроме того, любая другая точка пространства имеет большее расстояние по меньшей мере до одной из вершин. В терминах включения шаров, открытых единичных шаров, имеющих центры в точках , попадают в шар радиуса , который минимален для такой конфигурации. Чтобы показать, что такая конфигурация оптимальна, допустим, что — центры непересекающихся открытых единичных шаров, находящихся в шаре с радиусом и центром в точке . Рассмотрим отображение из конечного множества в , сопоставляющее в для всех . Поскольку для всех , , это отображение 1-липшицево и по теореме Киршбрауна оно распространяется до глобально определённого 1-липшицева отображения. В частности, существует точка , такая что для всех имеем , а следовательно, . Это показывает, что существуют непересекающихся единичных открытых шаров в шаре радиусом тогда и только тогда, когда . Заметим, что в случае бесконечномерного гильбертова пространства отсюда следует существование бесконечного числа непересекающихся единичных открытых шаров внутри шара радиуса тогда и только тогда, когда . Например, единичные шары с центрами в , где — ортонормальный базис, не пересекаются и содержатся в шаре радиуса с центром в начале координат. Более того, для максимальное число непересекающихся открытых единичных шаров внутри шара радиуса r равно . Сферы в параллелепипедЗадача определяет число сферических объектов заданного диаметра d, которые могут быть упакованы в прямоугольный параллелепипед размера a × b × c. Одинаковые сферы в цилиндрЗадача определяет минимальную высоту h цилиндра с заданным радиусом R, в который упаковано n одинаковых шаров радиуса r (< R) [10]. Упаковка в 2-мерные контейнерыУпаковка круговКруги в кругеУпаковка n единичных кругов в как можно меньшую окружность. Задача тесно связана с распределением точек в единичной окружности с целью достичь наибольшего минимального расстояния dn между точками. Оптимальные решения были доказаны для n≤13 и для n=19. Круги в квадратеУпаковка n единичных кругов в как можно меньший квадрат. Задача тесно связана с распределением точек в единичном квадрате с целью достичь наибольшего минимального расстояния dn между точками[11]. Для преобразования двух этих формулировок задачи размер квадрата единичных кругов будет L=2+2/dn. Оптимальные решения были доказаны для n≤30[12]. Круги в равнобедренном прямоугольном треугольникеУпаковка n единичных кругов в как можно меньший равнобедренный прямоугольный треугольник[англ.]. Хорошие приближения известны для n<300 [13]. Круги в правильном треугольникеУпаковка n единичных кругов в как можно меньший правильный треугольник. Оптимальные решения известны для n<13, а для n<28 высказаны гипотезы[14]. Упаковка квадратовКвадраты в квадратеУпаковка n единичных квадратов в как можно меньший квадрат. Оптимальные решения доказаны для n=1-10, 14-16, 23-25, 34-36, 62-64, 79-81, 98-100 и любого полного квадрата [15]. Незаполненное пространство асимптотически равно O(a7/11) [16]. Квадраты в кругеУпаковка n квадратов в как можно меньший круг. Минимальные решения:[17]
Упаковка прямоугольниковОдинаковые прямоугольники в прямоугольникеЗадача упаковки множественных копий одного прямоугольника размера (l,w) с разрешением поворота на 90° в больший прямоугольник размера (L,W) имеет несколько приложений, таких как загрузка коробок на поддоны и укладка древесно-стружечных плит. Например, можно упаковать 147 прямоугольников размера 137x95 в прямоугольник размера 1600x1230 [18]. Различные прямоугольники в прямоугольникеЗадача упаковки прямоугольников с различной шириной и высотой в прямоугольник минимальной площади (но без ограничения на ширину и высоту такого прямоугольника) имеет важное приложение для сборки изображений в одно большое изображение. WEB-страница, загружающая одно большое изображение, часто обрабатывается быстрее в браузерах, чем при загрузке множества мелких изображений, поскольку требуется запрос каждого изображения с сервера. Пример быстрого алгоритма, упаковывающего прямоугольники различной высоты и ширины в прямоугольник минимальной площади, — здесь. Связанные задачиВ задачах замощения не должно быть ни промежутков, ни наложений. Много головоломок такого типа используют упаковку прямоугольников или полимино в прямоугольник большего размера или другую фигуру, близкую к квадрату. Существует важная теорема о замощении прямоугольников (и прямоугольных параллелепипедов) в прямоугольники (прямоугольные параллелепипеды) без промежутков и наложений:
Изучение замощений плитками полимино в значительной степени касается двух классов задач — замощение прямоугольника конгруэнтными плитками и замощение набором плиток n-полимино прямоугольника. Классическая головоломка второго вида — расположить все двенадцать плиток пентамино в прямоугольниках размером 3×20, 4×15, 5×12 или 6×10. Упаковка неправильных объектовУпаковка неправильных объектов является задачей, решение которой вряд ли возможно в замкнутой (аналитической) форме. Однако в науке об окружающем мире задача весьма важна. Например, неправильные частички почвы упаковываются различным образом при изменении размеров и формы частичек, что ведёт к существенным последствиям для растений по формированию корней и возможности перемещения воды в почве.[21] См. такжеПримечания
Литература
Ссылки
Многие книги с головоломками, так же, как и математические журналы, содержат статьи об упаковках.
|