Тринадцатая проблема Гильберта

Трина́дцатая пробле́ма Ги́льберта — одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Она была мотивирована применением методов номографии к вычислению корней уравнений высоких степеней, и касалась представимости функций нескольких переменных, в частности, решения уравнения седьмой степени как функции от коэффициентов, в виде суперпозиции нескольких непрерывных функций двух переменных.

Проблема была решена В. И. Арнольдом совместно с А. Н. Колмогоровым, доказавшими, что любая непрерывная функция любого количества переменных представляется в виде суперпозиции непрерывных функций одной и двух переменных (и, более того, что в таком представлении можно обойтись, в дополнение к непрерывным функциям одной переменной, единственной функцией двух переменных — сложением):[1][2]

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{q=0}^{2n}\Phi _{q}\left(\sum _{p=1}^{n}\psi _{q,p}(x_{p})\right).}$

Функций ${\displaystyle \Phi _{q}}$ и ${\displaystyle \psi _{q,p}}$, не считая нулевых, требуется не более ${\displaystyle (n+1)(2n+1)}$ штук, в частности, для двух переменных — не более 15, для трех — не более 28.

Постановка проблемы

Уравнения степеней до четвёртой включительно разрешимы в радикалах: для их решений существуют явные формулы (формула Кардано и метод Феррари для уравнений третьей и четвёртой степени соответственно). Для уравнений степеней, начиная с пятой, их неразрешимость в радикалах утверждается теоремой Абеля — Руффини. Однако преобразования Чирнгауза позволяют свести общее уравнение степени ${\displaystyle n>4}$ к виду, свободному от коэффициентов при ${\displaystyle x^{n-1}}$, ${\displaystyle x^{n-2}}$ и ${\displaystyle x^{n-3}}$; для ${\displaystyle n=5}$ этот результат был получен Брингом в 1786, и для общего случая Джерардом в 1834.[3]. Тем самым (после дополнительной перенормировки), решение уравнений степеней 5-й, 6-й и 7-й степеней сводилось к решению уравнений вида

${\displaystyle x^{5}+ax+1=0}$,

${\displaystyle x^{6}+ax^{2}+bx+1=0,}$

${\displaystyle x^{7}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0}$

зависящих от одного, двух и трех параметров соответственно.

Рассматривая указанное уравнение 7-й степени, в 13 проблеме Гильберта надо ответить на вопрос: можно или нет представить общее решение уравнения

${\displaystyle x=x(a,b,c)}$

как суперпозицию конечного числа функций от двух переменных?

Непредставимость с сохранением класса гладкости

Решение: теоремы Колмогорова и Арнольда

Основная статья: Теорема Колмогорова — Арнольда

Литература

1. В. И. Арнольд, Избранное-60, М.: Фазис, 1997. С. 18, теорема 4.
2. On a constructive proof of Kolmogorov’s superposition theorem  (неопр.). Дата обращения: 21 сентября 2010. Архивировано из оригинала 4 марта 2016 года.
3. Weisstein, Eric W. Tschirnhausen Transformation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

• В. И. Арнольд. Избранное-60. — М.: Фазис, 1997.
• В. И. Арнольд. О представлении непрерывных функций трех переменных суперпозициями непрерывных функций двух переменных // Матем. сб.. — 1959. — Т. 48(90), № 1. — С. 3—74.
• А. Н. Колмогоров. О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиций непрерывных функций одной переменной и сложения // ДАН СССР. — 1957. — Т. 114, вып. 5. — С. 953—956.
• А. Г. Витушкин. 13-я проблема Гильберта и смежные вопросы // УМН. — 2004. — Т. 59, № 1(355). — С. 11–24.
• В. В. Прасолов. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.
• В. И. Арнольд. Топологические инварианты алгебраических функций. II // Функц. анализ и его прил.. — 1970. — Вып. 2, № 4. — С. 1-9.
• В. И. Арнольд. О классах когомологий алгебраических функций, сохраняющихся при преобразованиях Чирнгаузена // Функц. анализ и его прил.. — 1970. — Вып. 1, № 4. — С. 84—85.
• Г. Н. Чеботарев. К проблеме резольвент // Учён. зап. Казан. гос. ун-та. — 1954. — Т. 114, № 2. — С. 189—193.
• Проблемы Гильберта / под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — 240 с. — 10 700 экз. Архивная копия от 17 октября 2011 на Wayback Machine
• David Hilbert. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 (нем.). — Текст доклада, прочитанного Гильбертом 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков в Париже. Дата обращения: 27 августа 2009. Архивировано из оригинала 8 апреля 2012 года.