Формула Кардано

Фо́рмула Карда́но — формула для нахождения корней канонической формы кубического уравнения

${\displaystyle y^{3}+py+q=0}$

над полем комплексных чисел. Названа в честь итальянского математика Джероламо Кардано, опубликовавшего её в 1545 году[1]. В 1545 году Никколо Тарталья обвинил Кардано в плагиате: последний в трактате «Ars Magna» раскрыл алгоритм решения кубических уравнений, доверенный ему Тартальей в 1539 году под обещание не публиковать. Хотя Кардано не приписывал алгоритм себе и честно сообщил в книге, что авторами являются Сципион дель Ферро и Тарталья, алгоритм ныне известен под незаслуженным названием «формула Кардано»[2].

Любое кубическое уравнение общего вида

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$

при помощи замены переменной

${\displaystyle x=y-{\frac {b}{3a}}}$

может быть приведено к указанной выше канонической форме с коэффициентами

${\displaystyle p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}},}$

${\displaystyle q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.}$

Формула

Определим величину[3]:

${\displaystyle Q=\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}.}$

Если все коэффициенты кубического уравнения вещественны, то и Q вещественно, и по его знаку можно определить тип корней[3]:

• ${\displaystyle Q>0}$ — один вещественный корень и два сопряжённых комплексных корня.
• ${\displaystyle Q=0}$ — один однократный вещественный корень и один двукратный, или, если ${\displaystyle p=q=0}$, то один трёхкратный вещественный корень.
• ${\displaystyle Q<0}$ — три вещественных корня. Это так называемый «неприводимый» случай, и именно при анализе этой ситуации впервые исторически возникло понятие комплексного числа, потому что вещественный результат получается по формуле с помощью комплексных чисел[3].

По формуле Кардано, корни кубического уравнения в канонической форме равны:

${\displaystyle y_{1}=\alpha +\beta ,}$

${\displaystyle y_{2,3}=-{\frac {\alpha +\beta }{2}}\pm i{\frac {\alpha -\beta }{2}}{\sqrt {3}},}$

где

${\displaystyle \alpha ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {Q}}}},}$

${\displaystyle \beta ={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {Q}}}},}$

Дискриминант многочлена ${\displaystyle y^{3}+py+q}$ при этом равен ${\displaystyle \Delta =-108Q}$.

Применяя данные формулы, для каждого из трёх значений ${\displaystyle \alpha }$ необходимо брать такое ${\displaystyle \beta }$, для которого выполняется условие ${\displaystyle \alpha \beta =-p/3}$ (такое значение ${\displaystyle \beta }$ всегда существует).

Если кубическое уравнение вещественное, то рекомендуется по возможности выбирать вещественные значения ${\displaystyle \alpha ,\beta }$.

Вывод

Представим уравнение в виде

${\displaystyle \prod _{i=1}^{3}(y-y_{i})=0\qquad (1)}$

где ${\displaystyle y_{i}}$ - корни уравнения. Тогда

${\displaystyle \prod _{i=1}^{3}(y_{i})=-q.\qquad (2)}$

Примем:

${\displaystyle \ -q=\alpha ^{3}+\beta ^{3}\qquad (3)}$

Тогда, решая уравнение (3) получим

${\displaystyle \ -q=(\alpha +\beta )(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\alpha \beta )\qquad (4)}$

Одним из корней будет ${\displaystyle \ y=\alpha +\beta }$. Подставив его в исходное уравнение, получим:

${\displaystyle \alpha ^{3}+\beta ^{3}+(3\alpha \beta +p)(\alpha +\beta )+q=0}$

Подставляя q из (3), приходим к системе:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}(3\alpha \beta +p)(\alpha +\beta )=0\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q\end{matrix}}\right.}$

Зная, что в общем случае сумма ${\displaystyle \alpha +\beta }$ не равна нулю, получаем систему

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}(3\alpha \beta +p)=0\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q\end{matrix}}\right.}$

которая равносильна системе

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\alpha ^{3}\beta ^{3}=-{p^{3} \over 27}=m\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q=-n\end{matrix}}\right.}$

Последняя представляет собой формулы Виета для двух корней ${\displaystyle \alpha ^{3}}$ и ${\displaystyle \beta ^{3}}$ квадратного уравнения:

${\displaystyle \ z^{2}+nz+m=0}$

Оставшиеся два корня находятся разложением на множители многочлена

${\displaystyle \ \alpha ^{2}+\beta ^{2}-\alpha \beta }$

См. также

• Кубическое уравнение
• Метод Феррари
• Резольвента алгебраического уравнения
• Тарталья, Никколо
• Теорема Абеля — Руффини

Литература

• Гусак А. А., Гусак Г. М., Бричикова Е. А. Справочник по высшей математике в двух томах. — Минск: Тетрасистемс, 1999. — 640 с. — ISBN 985-6317-51-7.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.

Примечания

1. Стиллвелл Д. Математика и её история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 101. — 530 с. Архивировано 21 октября 2014 года. Архивированная копия  (неопр.). Дата обращения: 20 мая 2020. Архивировано 21 октября 2014 года.
2. Стиллвелл Д. Математика и её история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — С. 101. — 530 с.
3. Справочник по высшей математике, 1999, с. 144.

Ссылки

• http://algolist.manual.ru/maths/findroot/cubic.php
• http://www.mccme.ru/free-books/pdf/alekseev.pdf