Теорема Колмогорова — Арнольда

Теорема Колмогорова — Арнольда — теорема из анализа действительного переменного и теории приближений, гласит, что каждая многомерная непрерывная функция может быть представлена в виде суперпозиции непрерывных функций одной переменной. Она решает в более общем виде тринадцатую проблему Гильберта.[1][2]

Трудами Андрея Колмогорова и Владимира Арнольда установлено, что если f — это многомерная непрерывная функция, то f можно записать в виде конечной композиции непрерывных функций одной переменной и бинарной операции сложения.[3] А именно,

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{q=0}^{2n}\Phi _{q}\left(\sum _{p=1}^{n}\phi _{q,p}(x_{p})\right).}$

Построение доказательства, и даже более конкретные конструкции, можно найти в работе Брауна и Грибеля[4].

В каком-то смысле, Колмогоров и Арнольд показали, что единственная истинная функция многих переменных — это сложение, поскольку все другие функции можно записать с использованием функций одной переменной и сложения.[5]

История

Теорема Колмогорова — Арнольда тесно связана с 13-й проблемой Гильберта. В его парижской лекции на Международном конгрессе математиков в 1900 году Давид Гильберт сформулировал 23 проблемы, которые, по его мнению, были важны для дальнейшего развития математики.[6] В 13-й из этих проблем задача состояла в решении общих уравнений высших степеней. Известно, что для алгебраических уравнений степени 4 корни можно вычислить по формулам, которые содержат только радикалы и арифметические операции (то есть такие уравнения разрешимы в радикалах). Для более высоких порядков теория Галуа показывает, что решения алгебраических уравнений нельзя выразить в терминах базовых алгебраических операций. Из преобразований Чирнгауза следует, что общее алгебраическое уравнение

${\displaystyle x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{0}=0}$

можно перевести в форму ${\displaystyle y^{n}+b_{n-4}y^{n-4}+\dots +b_{1}y+1=0}$. Преобразование Чирнгауза определяется по формуле, содержащей только радикалы и арифметические операции и преобразования. Таким образом, решение алгебраического уравнения степени ${\displaystyle n}$ можно представить в виде суперпозиции функций двух переменных, если ${\displaystyle n<7}$, и как суперпозиции функций ${\displaystyle n-4}$ переменных, если ${\displaystyle n\geqslant 7}$. Для ${\displaystyle n=7}$ решение представляет собой суперпозицию арифметических операций, радикалы, и решения уравнения ${\displaystyle y^{7}+b_{3}y^{3}+b_{2}y^{2}+b_{1}y+1=0}$.

Дальнейшее упрощение алгебраических преобразований, кажется, невозможно, что вело к гипотезе Гильберта, о том что «решение общего уравнения степени 7 нельзя представить в виде суперпозиции непрерывных функций двух переменных». Это объясняет отношение тринадцатой проблемы Гильберта к представлению многомерных функций в виде суперпозиции функций низкой размерности. В этом контексте, это стимулировало многочисленные исследования в области теории функций и других связанных проблем разными авторами.[7]

Варианты теоремы Колмогорова — Арнольда

Вариант теоремы Колмогорова, который уменьшает количество внешних функции ${\displaystyle \Phi _{q}}$, принадлежит Джорджу Лоренцу.[8] Он показал в 1962 году, что внешние функции ${\displaystyle \Phi _{q}}$ можно заменить на одну функцию ${\displaystyle \Phi }$. Точнее, Лоренц доказал существование функций ${\displaystyle \phi _{q,p}}$, ${\displaystyle q=0,1,\ldots ,2n}$, ${\displaystyle p=1,\ldots ,n,}$ таких, что

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\sum _{q=0}^{2n}\Phi \left(\sum _{p=1}^{n}\phi _{q,p}(x_{p})\right).}$

Шпрехер[9] заменил внутренние функции ${\displaystyle \phi _{q,p}}$ на одну внутреннюю функцию с соответствующим сдвигом в своих аргументах. Он доказал, что существуют действительные значения ${\displaystyle \eta ,\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$, непрерывная функция ${\displaystyle \Phi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ и действительная возрастающая непрерывная функция ${\displaystyle \phi \colon [0,2]\to \mathbb {R} }$ с ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Lip} {\big (}\ln 2/\ln(2N+2){\big )}}$ для ${\displaystyle N\geqslant n\geqslant 2}$ такие, что

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\sum _{q=0}^{2n}\Phi \left(\sum _{p=1}^{n}\lambda _{p}\phi (x_{p}+\eta q)+q\right).}$

Филлип А. Остранд[10] обобщил теорему Колмогорова на компактные метрические пространства. Для ${\displaystyle p=1,\ldots ,m}$ пусть ${\displaystyle X_{p}}$ — компактные метрические пространства конечной размерности ${\displaystyle n_{p}}$, и пусть ${\displaystyle n=\sum _{p=1}^{m}n_{p}}$. Тогда существует непрерывная функция ${\displaystyle \phi _{q,p}\colon X_{p}\to [0,1],\ q=0,\ldots ,2n,\ p=1,\ldots ,m}$ и непрерывные функции ${\displaystyle G_{q}\colon [0,1]\to \mathbb {R} ,\ q=0,\ldots ,2n}$ такие, что любая непрерывная функция ${\displaystyle f\colon X_{1}\times \dots \times X_{m}\to \mathbb {R} }$ представима в виде

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{m})=\sum _{q=0}^{2n}G_{q}\left(\sum _{p=1}^{m}\phi _{q,p}(x_{p})\right).}$

Оригинальные ссылки

• Андрей Колмогоров, «О представлении непрерывных функций нескольких переменных суперпозициями непрерывных функций меньшего числа переменных», Доклады АН СССР, 108 (1956), с. 179—182; английский перевод: Amer. Math. Soc. Transl., 17 (1961), p. 369—373.
• Владимир Арнольд, «О функции трех переменных», Доклады АН СССР, 114 (1957), p. 679—681; английский перевод: Amer. Math. Soc. Transl., 28 (1963), p. 51—54.

Дальнейшее чтение

• S. Ya. Khavinson, Best Approximation by Linear Superpositions (Approximate Nomography), AMS Translations of Mathematical Monographs (1997)

Ссылки

1. Arnold: Swimming Against the Tide (англ.). — American Mathematical Society, 2014. — P. 165. — ISBN 978-1-4704-1699-7. Архивировано 17 марта 2022 года.
2. Shigeo Akashi. Application of ϵ-entropy theory to Kolmogorov—Arnold representation theorem (англ.) // Reports on Mathematical Physics^[англ.] : journal. — 2001. — Vol. 48. — P. 19—26. — doi:10.1016/S0034-4877(01)80060-4.
3. Bar-Natan. Dessert: Hilbert's 13th Problem, in Full Colour (англ.). Дата обращения: 19 мая 2019. Архивировано 8 августа 2020 года.
4. Jürgen Braun, Michael Griebel. On a constructive proof of Kolmogorov’s superposition theorem (англ.) // Constructive Approximation^[англ.] : journal. — 2009. — Vol. 30. — P. 653. — doi:10.1007/s00365-009-9054-2. Архивировано 24 ноября 2018 года.
5. Persi Diaconis, Mehrdad Shahshahani. On Linear Functions of Linear Combinations (англ.) // SIAM J. Sci. Stat. Comput.^[англ.] : journal. — 1984. — Vol. 5. — P. 180. — doi:10.1137/0905013. Архивировано 13 мая 2012 года.
6. David. Mathematical problems (англ.) // Bulletin of the American Mathematical Society : journal. — 1902. — Vol. 8. — P. 461—462.
7. Jürgen Braun. On Kolmogorov’s Superposition Theorem and Its Applications. — SVH Verlag, 2010. — 192 с.
8. George; Lorentz. Metric entropy, widths, and superpositions of functions (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 1962. — Vol. 69. — P. 469—485.
9. David A. Sprecher. On the structure of continuous functions of several variables (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society : journal. — 1965. — Vol. 115. — P. 340—355.
10. Phillip A. Ostrand. Dimension of metric spaces and Hilbert's problem 13 (англ.) // Bulletin of the American Mathematical Society : journal. — 1965. — Vol. 71. — P. 619—622.