Теория возмущений

Теория возмущений — метод приближённого решения задач прикладной математики и теоретической физики, применимый в том случае, когда в задаче присутствует малый параметр, причём в пренебрежении этим параметром задача имеет точное решение.

Величины, рассчитанные по теории возмущений, имеют вид ряда

${\displaystyle A=A^{(0)}+\varepsilon A^{(1)}+\varepsilon ^{2}A^{(2)}+...}$

где ${\displaystyle A^{(0)}}$ — решение невозмущённой задачи, ${\displaystyle \varepsilon }$ — малый параметр. Коэффициенты ${\displaystyle A^{(n)}}$ находятся путём последовательных приближений, то есть ${\displaystyle A^{(n)}}$ выражается через ${\displaystyle A^{(0)},...,A^{(n-1)}}$. Применяется в небесной механике, квантовой механике, квантовой теории поля и т. д.

В небесной механике

Исторически, первой дисциплиной, в которой была разработана теория возмущений, была небесная механика. Задача нахождения движения планет Солнечной системы есть задача ${\displaystyle N}$ тел, которая, в отличие от задачи двух тел, не имеет точного аналитического решения. Её решение, однако, облегчается тем, что ввиду малой массы планет, притяжение планет друг к другу намного слабее, чем притяжение их Солнцем. В пренебрежении массами планет задача сводится к ${\displaystyle N-1}$ независимым задачам двух тел, которые решаются точно; каждая планета движется в поле тяготения Солнца по эллиптической орбите согласно законам Кеплера. Это есть решение невозмущённой задачи, или нулевое приближение. Силы, действующие со стороны других планет, приводят к искажению, или возмущению этих эллиптических орбит. Для вычисления траектории планеты с учётом возмущения применяется следующий метод.

Положение планеты в пространстве и её скорость можно задать при помощи шести величин (по числу степеней свободы): большая полуось и эксцентриситет орбиты, наклонение орбиты её к плоскости эклиптики, долгота восходящего узла, аргумент перицентра и момент прохождения через перигелий. Эти величины (обозначим их для простоты ${\displaystyle a_{i}}$) выгодно отличаются от декартовых координат и компонент скорости тем, что для невозмущённого движения они постоянны:

${\displaystyle a_{i}(t)=a_{i}^{(0)}={\rm {const}},}$

поэтому уравнения движения планеты, записанные через них, содержат малый параметр в правой части:

${\displaystyle {\frac {da_{i}}{dt}}=\varepsilon f_{i}(a_{1},a_{2},...a_{6},t)\qquad \qquad (*)}$

Ввиду этого, решать уравнения движения удобно методом последовательных приближений. В первом приближении подставим в правую часть решения невозмущённого уравнения, и найдём:

${\displaystyle a_{i}(t)=a_{i}^{(0)}+\varepsilon a_{i}^{(1)}(t)=a_{i}^{(0)}+\varepsilon \int _{0}^{t}f_{i}(a_{i}^{(0)},\tau )d\tau .}$

Для нахождения второго приближения подставляем найденное решение в правую часть (*) и решаем получившиеся уравнения и т. д.

В квантовой механике

Теория возмущений в квантовой механике применяется в том случае, когда гамильтониан системы можно представить в виде

${\displaystyle H=H^{(0)}+V}$

где ${\displaystyle H^{(0)}}$ — невозмущённый гамильтониан (причём решение соответствующего уравнения Шрёдингера известно точно), а ${\displaystyle V}$ — малая добавка (возмущение).

Стационарная теория возмущений

Основная статья: Стационарная теория возмущений в квантовой механике

Задача состоит в нахождении собственных функций гамильтониана (стационарных состояний) и соответствующих уровней энергии. Будем искать решения уравнения Шрёдингера для нашей системы

${\displaystyle H|\psi _{n}\rangle =E_{n}|\psi _{n}\rangle \qquad \qquad (**)}$

в виде разложения в ряд

${\displaystyle \psi _{n}=\psi _{n}^{(0)}+\psi _{n}^{(1)}+\psi _{n}^{(2)}+...}$

${\displaystyle E_{n}=E_{n}^{(0)}+E_{n}^{(1)}+E_{n}^{(2)}+...\qquad \qquad (***)}$

где ${\displaystyle \psi _{n}^{(0)}}$ и ${\displaystyle E_{n}^{(0)}}$ — волновые функции и энергетические уровни невозмущённой задачи

${\displaystyle H^{(0)}|\psi _{n}^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}|\psi _{n}^{(0)}\rangle ,}$

а число ${\displaystyle n}$ нумерует энергетические уровни.

Подставляя (***) в (**), с точностью до членов первого порядка по возмущению получим

${\displaystyle (V-E_{n}^{(1)})|\psi _{n}^{(0)}\rangle =(E_{n}^{(0)}-H^{(0)})|\psi _{n}^{(1)}\rangle }$

Домножая слева на ${\displaystyle \psi _{m}^{(0)}}$, и учитывая, что ${\displaystyle \psi _{m}^{(0)}}$ — (ортонормированные) собственные функции невозмущённого гамильтониана, получаем

${\displaystyle E_{n}^{(1)}=V_{nn}}$

${\displaystyle \psi _{n}^{(1)}=\sum _{m\neq n}{\frac {V_{mn}}{E_{n}^{(0)}-E_{m}^{(0)}}}\psi _{m}^{(0)},}$

где ${\displaystyle V_{mn}\equiv \langle \psi _{m}^{(0)}|V|\psi _{n}^{(0)}\rangle }$ — матричные элементы возмущения.

Вышеизложенная процедура работает, если невозмущённый уровень ${\displaystyle E_{n}^{(0)}}$ невырожден. В противном случае для нахождения поправок первого порядка необходимо решать секулярное уравнение.

Аналогичным образом находятся поправки следующих порядков, хотя формулы сильно усложняются.

Нестационарная теория возмущений

В квантовой теории поля

Большинство вычислений в квантовой теории поля, в частности, в квантовой электродинамике (КЭД), также делаются в рамках теории возмущений. Невозмущённым решением являются свободные поля, а малым параметром — константа взаимодействия (в электродинамике — постоянная тонкой структуры ${\displaystyle \alpha =1/137}$). Для представления членов ряда теории возмущений в наглядной форме используются диаграммы Фейнмана.

В наше время многие вычисления в КЭД не ограничиваются первым или вторым порядком теории возмущений. Так, аномальный магнитный момент электрона в настоящее время (2015) вычислен до 5-го порядка по ${\displaystyle \alpha }$[1].

Тем не менее, существует теорема о том, что ряд теории возмущений в КЭД является не сходящимся, а лишь асимптотическим. Это означает, что, начиная с некоторого (на практике — очень большого) порядка теории возмущений согласие между приближённым и точным решением будет уже не улучшаться, а ухудшаться[2].

Примеры неприменимости теории возмущений

Несмотря на свою кажущуюся универсальность, метод теории возмущений не срабатывает в определённом классе задач. Примерами могут являться инстантонные эффекты в ряде задач квантовой механики и квантовой теории поля. Инстантонные вклады обладают существенными особенностями в точке разложения. Типичный пример инстантонного вклада имеет вид:

${\displaystyle T_{inst}=A\exp(-1/g)}$, где ${\displaystyle g}$ — малый параметр.

Эта функция является неаналитичной в точке ${\displaystyle g=0}$, а потому не может быть разложена в ряд Маклорена по ${\displaystyle g}$.

Примечания

1. E. de Rafael. Update of the Electron and Muon g-Factors // [https://web.archive.org/web/20220120021627/http://www.arxiv.org/abs/1210.4705 Архивная копия от 20 января 2022 на Wayback Machine arXiv:1210.4705 [hep-ph]]
2. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. — М.: Наука, 1981. — С. 210—212.

Литература

• Физическая энциклопедия / А.М. Прохоров (гл. ред.). — М.: Большая Российская энциклопедия, 1988—99.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.
• Мессиа А. Квантовая механика: Пер. с фр. — Т.2, 1979. — 584 с.
• J. Zinn-Justin and U. D. Jentschura. Multi-Instantons and Exact Results I: Conjectures, WKB Expansions, and Instanton Interactions // Ann. Phys. — 2004. — Vol. 313. — P. 197—267.
• J. Zinn-Justin and U. D. Jentschura. Multi-Instantons and Exact Results II: Specific Cases, Higher-Order Effects, and Numerical Calculations // Ann. Phys. — 2004. — Vol. 313. — P. 269—325.
• Джакалья Г. Е. О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. - М., Наука, 1979. - 320 с.