Стационарная теория возмущений в квантовой механике

Запрос «Теория возмущений (квантовая механика)» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Стационарная теория возмущений в квантовой механике — теория возмущений, где гамильтониан не зависит от времени. Теория построена Шрёдингером в 1926 году.

Теория применима для достаточно слабых возмущений: ${\displaystyle H=H_{0}+\lambda H_{1}}$, при этом параметр ${\displaystyle \lambda }$ должен быть настолько маленьким, чтобы возмущение не слишком искажало невозмущённый спектр ${\displaystyle H^{0}}$.

Невырожденный спектр

В теории возмущений решение представляется в виде разложений

${\displaystyle |n\rangle =|n^{0}\rangle +\lambda |n^{1}\rangle +\lambda ^{2}|n^{2}\rangle +\cdots ,}$

${\displaystyle E_{n}=E_{n}^{0}+\lambda E_{n}^{1}+\lambda ^{2}E_{n}^{2}+\cdots .}$

Конечно, должно быть верно уравнение Шрёдингера:

${\displaystyle H|n\rangle =E_{n}|n\rangle .}$

Подставляя разложение в это уравнение, получим

${\displaystyle (H_{0}+\lambda H_{1})(|n^{0}\rangle +\lambda |n^{1}\rangle +\lambda ^{2}|n^{2}\rangle +\cdots )=}$

${\displaystyle (E_{n}^{0}+\lambda E_{n}^{1}+\lambda ^{2}E_{n}^{2}+\cdots )(|n^{0}\rangle +\lambda |n^{1}\rangle +\lambda ^{2}|n^{2}\rangle +\cdots ).}$

Раскроем скобки и получим слева и справа следующие ряды:

${\displaystyle \lambda ^{0}H_{0}|n^{0}\rangle +\lambda ^{1}H_{1}|n^{0}\rangle +\lambda ^{1}H_{0}|n^{1}\rangle +\lambda ^{2}H_{1}|n^{1}\rangle +\cdots +\lambda ^{i+j}H_{i}|n^{j}\rangle =}$

${\displaystyle \lambda ^{0}E_{n}^{0}|n^{0}\rangle +\lambda ^{1}E_{n}^{1}|n^{0}\rangle +\cdots +\lambda ^{i+j}E_{n}^{i}|n^{j}\rangle ,}$

то есть

${\displaystyle \sum _{\begin{matrix}i=0\\j\end{matrix}}^{i=1}\lambda ^{i+j}H_{i}|n^{j}\rangle =\sum _{i,j}\lambda ^{i+j}E_{n}^{i}|n^{j}\rangle .}$

Собирая слагаемые одинакового порядка по ${\displaystyle \lambda }$, получим последовательности уравнений:

${\displaystyle H_{0}|n^{0}\rangle =E_{n}^{0}|n^{0}\rangle ,}$

${\displaystyle H_{0}|n^{1}\rangle +H_{1}|n^{0}\rangle =E_{n}^{0}|n^{1}\rangle +E_{n}^{1}|n^{0}\rangle ,}$

${\displaystyle H_{0}|n^{2}\rangle +H_{1}|n^{1}\rangle =E_{n}^{0}|n^{2}\rangle +E_{n}^{1}|n^{1}\rangle +E_{n}^{2}|n^{0}\rangle .}$

и т. д. Эти уравнения должны решаться последовательно для получения ${\displaystyle E_{n}^{k}}$ и ${\displaystyle n^{k}}$. Слагаемое с индексом ${\displaystyle k=0}$ — это решение для невозмущённого уравнения Шрёдингера, поэтому говорят также о «приближении нулевого порядка». Аналогично говорят о «приближении ${\displaystyle k}$-го порядка», если рассчитывают решение до слагаемых ${\displaystyle E_{n}^{k}}$ и ${\displaystyle n^{k}}$.

Из второго уравнения получаем, что можно определять однозначно решения для ${\displaystyle n^{1}}$ только с дополнительными условиями, так как каждая линейная комбинация ${\displaystyle n^{1}}$ и ${\displaystyle n^{0}}$ является решением. Возникает вопрос о нормализации. Мы можем предположить, что ${\displaystyle \langle n^{0}|n^{0}\rangle =1}$, но в то же время из нормировки точного решения следует ${\displaystyle \langle n|n\rangle =1}$. Тогда в первом порядке (по параметру λ) для условия нормировки нужно положить ${\displaystyle \langle n^{0}|n^{1}\rangle +\langle n^{1}|n^{0}\rangle =0}$. Поскольку выбор фазы в квантовой механике произволен, можно без потери общности сказать, что число ${\displaystyle \langle n^{0}|n\rangle }$ действительно. Поэтому ${\displaystyle \langle n^{0}|n^{1}\rangle =-\langle n^{0}|n^{1}\rangle }$, и, как следствие, налагаемое дополнительное условие примет вид:

${\displaystyle \langle n^{0}|n^{1}\rangle =0.}$

Так как невозмущённое состояние ${\displaystyle n^{0}}$ должно быть нормируемо, сразу следует

${\displaystyle \lambda \langle n^{0}|n^{1}\rangle +\lambda ^{2}\langle n^{0}|n^{2}\rangle +\lambda ^{3}\langle n^{0}|n^{3}\rangle +\cdots =0}$

и из этого

${\displaystyle \langle n^{0}|n^{k}\rangle =\delta _{0k}.}$

Получаем поправку в первом порядке

${\displaystyle E_{n}^{1}=\langle n^{0}|H_{1}|n^{0}\rangle ,}$

${\displaystyle |n^{1}\rangle =\sum _{m\neq n}{\frac {\langle m^{0}|H_{1}|n^{0}\rangle }{E_{n}^{0}-E_{m}^{0}}}|m^{0}\rangle ,}$

и для поправки энергии во втором порядке

${\displaystyle E_{n}^{2}=\sum _{m\neq n}{\frac {|\langle m^{0}|H_{1}|n^{0}\rangle |^{2}}{E_{n}^{0}-E_{m}^{0}}}.}$

Литература

Landau L. D., Lifschitz E. M. Quantum Mechanics: Non-relativistic Theory. — 3rd. — ISBN 0-08-019012-X.