Теорема об открытом отображении

Теорема об открытом отображении утверждает

Линейный непрерывный оператор ${\displaystyle A}$, отображающий банахово пространство ${\displaystyle X}$ на все банахово пространство ${\displaystyle Y}$, является открытым отображением, то есть ${\displaystyle A(G)}$ открыто в ${\displaystyle Y}$ для любого ${\displaystyle G}$, открытого в ${\displaystyle X}$;

Условиям теоремы об открытом отображении удовлетворяет, например, всякий ненулевой линейный непрерывный функционал, определенный на вещественном (комплексном) банаховом пространстве ${\displaystyle X}$ со значениями в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (или в ${\displaystyle \mathbb {C} }$).

Теорема доказана Стефаном Банахом. Из неё немедленно следует теорема Банаха о гомеоморфизме:

Непрерывный линейный оператор ${\displaystyle A}$, отображающий взаимно однозначно банахово пространство ${\displaystyle X}$ на банахово пространство ${\displaystyle Y}$, является гомеоморфизмом, то есть ${\displaystyle A^{-1}}$ ― также линейный непрерывный оператор.

Обобщения

Теорема об открытом отображении допускает следующее обобщение:

Непрерывный линейный оператор, отображающий совершенно полное топологическое векторное пространство ${\displaystyle X}$ на бочечное пространство ${\displaystyle Y}$, есть открытое отображение.

См. также

• Теорема о замкнутом графике