Теорема Нэша о регулярных вложениях

Эта статья о существовании гладкого вложения в евклидово пространство достаточно высокой размерности; о существовании связности Леви-Чивиты см. Основная теорема римановой геометрии.

Теорема Нэша о регулярных вложениях, иногда называемая основная теорема римановой геометрии, — утверждение о том, что любое риманово многообразие допускает гладкое вложение в евклидово пространство достаточно высокой размерности. Формально, всякое ${\displaystyle m}$-мерное риманово многообразие ${\displaystyle (V^{m},\;g)}$ класса ${\displaystyle C^{r}}$, ${\displaystyle 3\leqslant r\leqslant \infty }$, допускает изометрическое ${\displaystyle C^{r}}$ вложение в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ для достаточно большого ${\displaystyle n}$.

Установлена американским математиком Джоном Нэшем, Нэш также дал явную оценку ${\displaystyle n\geqslant m(m+1)(3m+11)/2}$, которая позднее несколько раз улучшалась, в частности теорема справедлива для ${\displaystyle n\geqslant m^{2}+10m+3}$[1].

В доказательстве был введён новый метод решения дифференциальных уравнений, так называемая теорема Нэша — Мозера изначально доказанная Нэшем. Существенное упрощение этой части доказательства было дано Матиасом Гюнтером.[2] Его метод был слегка упрощён в нескольких заметках Дэна Янга[3] Теренсa Тао[4] и Ральфа Хоурда[5].

Вариации и обобщения

• Теорема Нэша — Кейпера — аналогичный результат для ${\displaystyle C^{1}}$-гладких вложений.
• Аналогичная теорема для псевдоримановых многообразий следует из теоремы Нэша, но её можно доказать без использования теоремы Нэша — Мозера. Возможно построить изометрическое вложение в псевдоевклидово пространство только с помощью скручиваний Нэша.
• Любое гладкое компактное финслерово многообразие со строго выпуклыми нормами допускает изометрическое вложение в конечномерное Банахово пространство.[6].
• Справедлив аналогичный результат для аналитических вложений, установлен также Нэшем, но существенно позднее[7].
• Теорема Позняка утверждает, что любой диск на плоскости с римановой метрикой ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},g)}$ допускает изометрическое погружение в 4-мерное евклидово пространство.[8]
  • Вопрос о существовании локального гладкого изометрического вложения в 3-мерное евклидово пространство остаётся открытым.

Примечания

1. см. стр. 319, Громов М., Дифференциальные соотношения с частными производными, Мир 1990
2. Matthias Günther, On the perturbation problem associated to isometric embeddings of Riemannian manifolds, Annals of Global Analysis and Geometry 7 (1989), 69—77.
3. Yang, Deane. Gunther's proof of Nash's isometric embedding theorem. arXiv:math/9807169.
4. Terence Tao Notes on the Nash embedding theorem Архивная копия от 23 ноября 2022 на Wayback Machine
5. Ralph Howard Notes on Günther’s Method and the Local Version of the Nash Isometric Embedding Theorem Архивная копия от 6 октября 2022 на Wayback Machine
6. Д. Ю. Бураго, С. В. Иванов. Изометрические вложения финслеровых многообразий (рус.) // Алгебра и анализ. — 1993. — Т. 5, № 1. — С. 179—192.
7. Дж. Нэш. Аналитичность решений задач о неявной функции с аналитическими исходными данными // УМН. — 1971. — Т. 26, № 4(160). — С. 217—226.
8. Э. Г. Позняк. Изометрические погружения двумерных римановых метрик в евклидовы пространства // УМН. — 1973. — Т. 28, № 4(172). — С. 47–76.

Литература

• Дж. Нэш. Проблема вложений для римановых многообразий // УМН. — 1971. — Т. 26, № 4(160). — С. 173—216.