Теорема Ньютона — Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница (анимация)

Формула Ньютона — Лейбница, или основная формула анализа, или формула Барроу[1] даёт соотношение между двумя операциями: взятием интеграла Римана и вычислением первообразной.

Формулировка

Классическая формулировка формулы Ньютона-Лейбница имеет следующий вид.

Если функция ${\displaystyle \textstyle f(x)}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ и ${\displaystyle \textstyle \Phi (x)}$ — любая её первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\Bigg .}\Phi (x){\Bigg |}_{a}^{b}}$

Доказательство

Пусть на отрезке ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ задана интегрируемая функция ${\displaystyle \textstyle f}$.

Зададим произвольное значение ${\displaystyle \textstyle x\in \left[a,b\right]}$ и определим новую функцию ${\displaystyle \textstyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt}$. Она определена для всех значений ${\displaystyle \textstyle x\in \left[a,b\right]}$, потому что мы знаем, что если существует интеграл от ${\displaystyle \textstyle f}$ на ${\displaystyle \left[a,b\right]}$, то существует также интеграл от ${\displaystyle \textstyle f}$ на ${\displaystyle \left[a,x\right]}$, где ${\displaystyle a\leqslant x\leqslant b}$. Напомним, что мы считаем по определению

${\displaystyle F(a)=\int \limits _{a}^{a}f(t)\,dt=0}$ (1)

Заметим, что

${\displaystyle F(b)=\int \limits _{a}^{b}f(t)\,dt}$

Покажем, что ${\displaystyle \textstyle F}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle \left[a,b\right]}$. В самом деле, пусть ${\displaystyle x,x+h\in \left[a,b\right]}$; тогда

${\displaystyle F(x+h)-F(x)=\int \limits _{a}^{(x+h)}f(t)\,dt-\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt=\int \limits _{x}^{(x+h)}f(t)\,dt}$

и если ${\displaystyle K=sup|f(t)|,a\leqslant t\leqslant b}$, то

${\displaystyle |F(x+h)-F(x)|\leqslant {\bigg |}\int \limits _{x}^{(x+h)}f(t)\,dt{\bigg |}\leqslant K|h|\to 0,h\to 0}$

Таким образом, ${\displaystyle \textstyle F}$ непрерывна на ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ независимо от того, имеет или не имеет ${\displaystyle \textstyle f}$ разрывы; важно, что ${\displaystyle \textstyle f}$ интегрируема на ${\displaystyle \left[a,b\right]}$.

На рисунке изображён график ${\displaystyle \textstyle f}$. Площадь переменной фигуры ${\displaystyle \textstyle aABx}$ равна ${\displaystyle \textstyle F(x)}$. Её приращение ${\displaystyle \textstyle F(x+h)-F(x)}$ равно площади фигуры ${\displaystyle \textstyle xBC(x+h)}$, которая в силу ограниченности ${\displaystyle \textstyle f}$, очевидно, стремится к нулю при ${\displaystyle h\to 0}$ независимо от того, будет ли ${\displaystyle \textstyle x}$ точкой непрерывности или разрыва ${\displaystyle \textstyle f}$, например точкой ${\displaystyle \textstyle x-d}$.

Пусть теперь функция ${\displaystyle \textstyle f}$ не только интегрируема на ${\displaystyle \left[a,x\right]}$, но непрерывна в точке ${\displaystyle x\in \left[a,x\right]}$. Докажем, что тогда ${\displaystyle \textstyle F}$ имеет в этой точке производную, равную

${\displaystyle \textstyle F'(x)=f(x)}$ (2)

В самом деле, для указанной точки ${\displaystyle \textstyle x}$

${\displaystyle {\dfrac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}f(t)\,dt={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}(f(x)+\eta (t))\,dt}$ ${\displaystyle ={\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}f(x)\,dt+{\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}\eta (t)\,dt=f(x)+o}$ (1) ,${\displaystyle h\to 0}$ (3)

Мы положили ${\displaystyle \textstyle f(t)=f(x)+\eta (t)}$, а так как ${\displaystyle \textstyle f(x)}$ постоянная относительно ${\displaystyle \textstyle t}$, то ${\displaystyle \textstyle \int \limits _{x}^{x+h}f(x)\,dt=f(x)h}$. Далее, в силу непрерывности ${\displaystyle \textstyle f}$ в точке ${\displaystyle \textstyle x}$ для всякого ${\displaystyle \textstyle \varepsilon >0}$ можно указать такое ${\displaystyle \textstyle \delta }$, что ${\displaystyle \textstyle |\eta (t)|<\varepsilon }$ для ${\displaystyle \textstyle |x-t|<\delta }$.

Поэтому

${\displaystyle \left|{\dfrac {1}{h}}\int \limits _{x}^{x+h}\eta (t)\,dt\right|\leqslant {\dfrac {1}{|h|}}|h|\varepsilon =\varepsilon ,|h|<\delta }$

что доказывает, что левая часть этого неравенства есть о(1) при ${\displaystyle \textstyle h\to 0}$.

Переход к пределу в (3) при ${\displaystyle \textstyle h\to 0}$ показывает существование производной от ${\displaystyle \textstyle F}$ в точке ${\displaystyle \textstyle x}$ и справедливость равенства (2). При ${\displaystyle \textstyle x=a,b}$ речь здесь идёт соответственно о правой и левой производной.

Если функция ${\displaystyle \textstyle f}$ непрерывна на ${\displaystyle \left[a,b\right]}$, то на основании доказанного выше соответствующая ей функция

${\displaystyle F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)\,dt}$ (4)

имеет производную, равную ${\displaystyle \textstyle f(x):F'(x)=f(x),a\leqslant x\leqslant b}$. Следовательно, функция ${\displaystyle \textstyle F(x)}$ есть первообразная для ${\displaystyle \textstyle f}$ на ${\displaystyle \left[a,b\right]}$.

Это заключение иногда называется теоремой об интеграле с переменным верхним пределом, или теоремой Барроу.

Мы доказали, что произвольная непрерывная на отрезке ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ функция ${\displaystyle \textstyle f}$ имеет на этом отрезке первообразную, определенную равенством (4). Этим доказано существование первообразной для всякой непрерывной на отрезке функции.

Пусть теперь ${\displaystyle \textstyle \Phi }$ есть произвольная первообразная функции ${\displaystyle \textstyle f(x)}$ на ${\displaystyle \left[a,b\right]}$. Мы знаем, что ${\displaystyle \textstyle \Phi (x)=F(x)+C}$ , где ${\displaystyle \textstyle C}$ — некоторая постоянная. Полагая в этом равенстве ${\displaystyle \textstyle x=a}$ и учитывая, что ${\displaystyle \textstyle F(a)=0}$, получим ${\displaystyle \textstyle \Phi (a)=C}$.

Таким образом, ${\displaystyle \textstyle F(x)=\Phi (x)-\Phi (a)}$. Но

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)}$

Поэтому

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)=\Phi (x){\bigg |}{\begin{matrix}x=b\\\\x=a\end{matrix}}}$

Однако на самом деле требование непрерывности подынтегральной функции избыточно. Для выполнения этой формулы достаточно лишь существование левой и правой частей.

Если функция ${\displaystyle \textstyle f(x)}$ интегрируема и имеет первообразную на отрезке ${\displaystyle \left[a,b\right]}$, ${\displaystyle \textstyle \Phi (x)}$ — любая её первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\Phi (b)-\Phi (a)={\Bigg .}\Phi (x){\Bigg |}_{a}^{b}}$

Непрерывность является удобным условием на практике, поскольку сразу же гарантирует и интегрируемость, и существование первообразной. В случае её отсутствия же для правильного применения требуется проверка обоих этих свойств, что иногда бывает сложным. Существуют интегрируемые функции, не имеющие первообразной (любая функция с конечным числом точек разрыва или функция Римана), и неинтегрируемые, имеющие первообразную (производная ${\displaystyle x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2}}}}$, дополненная нулём в нуле, на любом отрезке, содержащем 0, или функция Вольтерры^[англ.]).

Формула может быть обобщена для случая функций с конечным числом разрывов. Для этого нужно обобщить понятие первообразной. Пусть функция ${\displaystyle f}$ определена на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$ за исключением, возможно, конечного числа точек. Функция ${\displaystyle F}$ называется обобщённой первообразной ${\displaystyle f}$, если она:

• Непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$
• Во всех точках ${\displaystyle [a;b]}$, за исключением, возможно, конечного их числа, дифференцируема
• Во всех точках, где она дифференцируема, за исключением, возможно, конечного их числа, её производная равна ${\displaystyle f}$.

Это определение не требует, чтобы производная ${\displaystyle F}$ равнялась ${\displaystyle f}$ во всех точках, где ${\displaystyle F}$ дифференцируема. С этим понятием можно обобщить формулу Ньютона — Лейбница ещё сильнее.

Пусть ${\displaystyle f}$ определена на ${\displaystyle [a;b]}$ везде, за исключением, возможно, конечного числа точек. Если функция ${\displaystyle \textstyle f(x)}$ интегрируема и имеет обобщённую первообразную на отрезке ${\displaystyle \left[a,b\right]}$, ${\displaystyle F(x)}$ — любая её обобщённая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)={\Bigg .}F(x){\Bigg |}_{a}^{b}}$

Доказательство

Так как функция ${\displaystyle f}$ интегрируема, можно рассмотреть любую последовательность разбиений с отмеченными точками, диаметр которых стремится к нулю. Предел интегральных сумм по ним будет равен интегралу.

Рассмотрим последовательность разбиений отрезка ${\displaystyle [a;b]}$ ${\displaystyle \{T_{n}\}}$ такую, что диаметр разбиения при ${\displaystyle n\to +\infty }$ стремится к нулю. Включим в каждое из этих разбиений также точки отрезка ${\displaystyle [a;b]}$, в которых ${\displaystyle F}$ не дифференцируема или её производная не равна ${\displaystyle f}$. С этими дополнительными точками разбиения обозначим ${\displaystyle T_{n}'}$.

Теперь зададим на них отмеченные точки. Фиксируем конкретное разбиение ${\displaystyle T_{n}=\{a=x_{0},\ldots ,x_{n}=b\}}$. Тогда, по условию, функция ${\displaystyle F}$ непрерывна на каждом из отрезков ${\displaystyle [x_{i-1};x_{i}]}$ и дифференцируема на интервалах ${\displaystyle (x_{i-1};x_{i})}$. Условия теоремы Лагранжа соблюдены и, значит, существует такая точка ${\displaystyle \xi _{i}\in (x_{i-1};x_{i})}$, что ${\displaystyle f(\xi _{i})(x_{i}-x_{i-1})=F(x_{i})-F(x_{i-1})}$. Эти точки ${\displaystyle \Xi _{n}=(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})}$ возьмём в качестве отмеченных точек разбиения ${\displaystyle T_{n}'}$. Тогда интегральная сумма по такому разбиению будет равна ${\displaystyle :\sigma (f,T_{n}',\Xi _{n})=f(\xi _{1})(x_{1}-x_{0})+f(\xi _{2})(x_{2}-x_{1})+\ldots +f(\xi _{n})(x_{n}-x_{n-1})=-F(x_{0})+F(x_{1})-F(x_{1})+F(x_{2})-\ldots -F(x_{n-1})+F(x_{n})=F(x_{n})-F(x_{0})=F(b)-F(a)}$ Интегральная сумма каждого из размеченных разбиений (T_n',Xi_n) равна одному и тому же значению, следовательно, и предел этих сумм будет равен этому значению, то есть

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dt=\lim _{n\to +\infty }\sigma (f,T_{n}',Xi_{n})=F(b)-F(a)}$.

Приведённое доказательство интересно тем, что в нём не использовалась ни одно из свойств интеграла, кроме непосредственно его определения. Однако доказательство формулы Ньютона-Лейбница в классической формулировке оно не даёт: для этого необходимо дополнительно доказать, что любая непрерывная функция интегрируема и имеет первообразную.

Замечание. Бездумное применение формулы к функциям, не являющимся непрерывными, может привести к ошибке. Пример неправильного вычисления:

${\displaystyle \int \limits _{-1}^{1}{\frac {dx}{x^{2}}}=-{\frac {1}{x}}{\bigg |}_{-1}^{1}=-1-1=-2,}$ хотя интеграл от положительной функции не может быть отрицателен.

Причина ошибки: функции ${\displaystyle -{\frac {1}{x}}}$ не является первообразной (даже обобщённой) для функции ${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}}}}$ на отрезке ${\displaystyle [-1;1]}$ просто потому, что она не определена в нуле. Функция не имеет на этом отрезке первообразной вообще. Более того, эта функция ещё и не ограничена в окрестности нуля, и следовательно, не интегрируема по Риману.

История

Ещё до появления математического анализа данная теорема (в геометрической или механической формулировке) была известна Грегори и Барроу. Например, Барроу описал этот факт в 1670 году как зависимость между задачами на квадратуры и на проведение касательных.

Ньютон сформулировал теорему словесно следующим образом: «Для получения должного значения площади, прилегающей к некоторой части абсциссы, эту площадь всегда следует брать равной разности значений z [первообразной], соответствующих частям абсцисс, ограниченным началом и концом площади».

У Лейбница запись данной формулы в современном виде также отсутствует, поскольку обозначение определённого интеграла появилось гораздо позже, у Фурье в начале XIX века.

Современную формулировку привёл Лакруа в начале XIX века.

Значение

Основная теорема анализа устанавливает связь между дифференциальным и интегральным исчислениями. Понятие первообразной (а значит, и понятие неопределённого интеграла) определяется через понятие производной и, таким образом, относится к дифференциальному исчислению. С другой стороны, понятие определённого интеграла Римана формализуется как предел, к которому сходится так называемая интегральная сумма. Оно не зависит от понятия производной и относится к другой ветви анализа — интегральному исчислению. Формула Ньютона — Лейбница же позволяет выразить определённый интеграл через первообразную.

Интеграл Лебега

Функция ${\displaystyle F(x):=C+\int \limits _{a}^{x}f(t)dt}$ представляет собой неопределённый интеграл суммируемой функции ${\displaystyle f(x)}$. Функция ${\displaystyle F(x)}$ является абсолютно непрерывной[2].

Теорема (Лебега): ${\displaystyle f(x)}$ абсолютно непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ тогда и только тогда, когда существует суммируемая на ${\displaystyle [a,b]}$ функция ${\displaystyle g}$ такая, что ${\displaystyle f(x)=f(a)+\int \limits _{a}^{x}g(t)dt}$ при любом значении x от a до b[3].

Из этой теоремы вытекает, что если функция ${\displaystyle f}$ абсолютно непрерывна на ${\displaystyle [a,b]}$, то её производная существует почти всюду, суммируема и удовлетворяет равенству[4]:

${\displaystyle f(x)=f(a)+\int \limits _{a}^{x}f'(t)dt}$, где ${\displaystyle x\in [a,b]}$.

Некоторые следствия

В качестве следствий этой теоремы можно назвать формулу интегрирования по частям[4], формулу замены переменных[4], а также теорему о разложении монотонных функций по Лебегу[5].

Формула интегрирования по частям

Пусть ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ — абсолютно непрерывные функции на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$. Тогда[4]:

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f'(x)g(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int \limits _{a}^{b}f(x)g'(x)dx}$.

Формула следует немедленно из основной теоремы анализа и правила Лейбница[4].

Формула замены переменных

Теорема. О замене переменной в определенном интеграле[6]. Рассмотрим монотонную абсолютно непрерывную функцию ${\displaystyle \varphi }$ на отрезке ${\displaystyle [c,d]}$, причём ${\displaystyle \varphi ([c.d])\subset [a,b]}$. Если ${\displaystyle f}$ — любая функции, интегрируемая по Лебегу на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, то новая функция ${\displaystyle f(\varphi )\varphi '}$ интегрируема на ${\displaystyle [c,d]}$ и, кроме того, справедлива следующая формула[4]:

${\displaystyle \int _{\varphi (c)}^{\varphi (d)}f(x)dx=\int _{c}^{d}f(\varphi (y))\varphi '(y)dy.}$

Эта теорема справедлива и для следующих промежутков[4]:

${\displaystyle (-\infty ,d],}$ ${\displaystyle [c,+\infty ),}$ ${\displaystyle (-\infty ,+\infty ).}$

Разложение Лебега

Теорема. Рассмотрим неубывающую непрерывную слева функцию ${\displaystyle F}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$. Такую функцию можно разложить следующим образом[5]:

• ${\displaystyle F=F_{ac}+F_{sing}}$, где:

• ${\displaystyle F_{ac}}$ — абсолютно непрерывная неубывающая функция;
• ${\displaystyle F_{sing}}$ — неубывающая непрерывная слева функция, причём почти всюду ${\displaystyle F'_{sing}(t)=0}$;

• ${\displaystyle F_{sing}=F_{a}+F_{c}}$, где:

• ${\displaystyle F_{c}}$ — непрерывная неубывающая функция;
• ${\displaystyle F_{a}}$ — непрерывная слева неубывающая функция скачков, то есть

${\displaystyle F_{a}(t)=\sum _{n:~t_{n}<n}h_{n}}$, причём

${\displaystyle \{t_{n}\}\subset (a,b),\quad }$ ${\displaystyle h_{n}>0,\quad }$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }h_{n}<\infty .}$

Вариации и обобщения

• Теорема Стокса
• Дискретная теорема Грина

См. также

• Основная теорема алгебры
• Основная теорема арифметики

Примечания

1. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 18.
2. Богачев В. И., Смолянов О. Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2009, 4.3. Абсолютно непрерывные функции, с. 190.
3. Богачев В. И., Смолянов О. Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2009, 4.3. Абсолютно непрерывные функции, с. 191.
4. Богачев В. И., Смолянов О. Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2009, 4.4. Формула Ньютона-Лейбница, с. 196.
5. Богачев В. И., Смолянов О. Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2009, 4.4. Формула Ньютона-Лейбница, с. 197.
6. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2000, § 1. Фазовые пространства, с. 21.

Источники

• Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 4-е изд. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000. 367 с., ил.
• Богачёв В. И., Смолянов О. Г. Действительный и функциональный анализ: университетский курс. М.—Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований 2009. 724 с., ил. ISBN 978-5-93972-742-6.

Литература

• Демидович Б. П. Отдел 3. Формула Ньютона — Лейбница // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).
• Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
• Никифоровский В. А. Путь к интегралу. — М.: Наука, 1985.