Теорема Лузина

Теоре́ма Лу́зина — утверждение о необходимых и достаточных условиях измеримости функции одной вещественной или комплексной переменной. Согласно этой теореме, каждая измеримая на отрезке ${\displaystyle \left[a,b\right]}$ функция есть не что иное, как непрерывная функция, искажённая на некотором множестве сколь угодно малой меры. Это утверждение также часто называют ${\displaystyle C}$-свойством.

Формулировка

Для того, чтобы функция ${\displaystyle f(x)}$, заданная на отрезке ${\displaystyle \left[a,b\right]}$, была измерима, необходимо и достаточно, чтобы она обладала так называемым ${\displaystyle C}$-свойством: для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ найдётся такая функция ${\displaystyle \varphi (x)}$, непрерывная на отрезке ${\displaystyle \left[a,b\right]}$, что мера множества ${\displaystyle \{x\in [a,b]:f(x)\neq \varphi (x)\}}$ меньше ${\displaystyle \varepsilon }$.

Доказательство

Доказательство в доступной для начинающих форме есть в книге [1]. Кроме того, теорема Лузина несложно выводится из теоремы Егорова[2]. В этой теореме произвольно малое число ${\displaystyle \varepsilon >0}$ нельзя заменить нулём (нарушится необходимость).

История открытия

Примечания

1. Соболев В. И., Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 135.
2. Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа. — гл. V, пар 4.7.

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.

• Богачев В. И., К истории открытия теорем Егорова и Лузина. — Историко-математические исследования, вып. 48 (13), 2009.