Теорема Левицкого

Теорема Левицкого, названная именем израильского математика Яакова Левицкого, утверждает, что в правом Нётеровом кольце любой односторонний ниль-идеал является обязательно нильпотентным[1][2]. Теорема является одним из многих результатов, свидетельствующих о правдивости гипотезы Кёте, и более того, дающих решение на один из вопросов Кёте, как описано в статье Левицкого[3]. Результат был получен в 1939, но опубликован лишь в 1950 году[4]. Относительно простое доказательство дал Утуми в 1963[5].

Доказательство

Ниже приведена аргументация Утуми (как изложена в статье Лама[6])

Лемма[7]

Предположим, что R удовлетворяет условию обрыва возрастающей цепи^[англ.] на аннуляторах^[англ.] формы ${\displaystyle \{r\in R\mid ar=0\}}$, где a принадлежит R. Тогда

1. Любой односторонний ниль-идеал содержится в нижнем нильрадикале ${\displaystyle \mathrm {Nil} _{*}(R)}$;
2. Любой ненулевой правый нильидеал содержит ненулевой нильпотентный правый идеал.
3. Любой ненулевой левый нильидеал содержит ненулевой нильпотентный левый идеал.

Теорема Левицкого[8]

Пусть R будет правым нётеровым кольцом. Тогда любой односторонний нильидеал R нильпотентен. В этом случае верхний и нижний нильрадикалы равны и кроме того, этот идеал является наибольшим нильпотентным идеалом среди нильпотентных правых идеалов и среди нильпотентных левых идеалов.

Доказательство: Вследствие леммы выше достаточно показать, что нижний нильрадикал R нильпотентен. Поскольку R является правым нётеровым кольцом, максимальный нильпотентный идеал N существует. Из максимальности N следует, что факторкольцо R/N не имеет ненулевых нильпотентных идеалов, так что R/N является полупростым кольцом. Как результат, N содержит нижний нильрадикал кольца R. Поскольку нижний нильрадикал содержит все нильпотентные идеалы, он содержит и N, а тогда N равен нижнему нильрадикалу.

См. также

• Нильпотентный идеал
• Гипотеза Кёте
• Радикал Джекобсона

Примечания

1. Herstein, 1968, с. 37 Theorem 1.4.5.
2. Isaacs, 1993, с. 210 Theorem 14.38.
3. Levitzki, 1945.
4. Levitzki, 1950.
5. Utumi, 1963.
6. Lam, 2001, с. 164-165.
7. Lam, 2001, с. Lemma 10.29.
8. Lam, 2001, с. Theorem 10.30.

Литература

• I. Martin Isaacs. Algebra, a graduate course. — 1st. — Brooks/Cole Publishing Company, 1993. — ISBN 0-534-19002-2.
• Herstein I.N. Noncommutative rings. — 1st. — The Mathematical Association of America, 1968. — ISBN 0-88385-015-X.
• Lam T.Y. A First Course in Noncommutative Rings. — Springer-Verlag, 2001. — ISBN 978-0-387-95183-6.
• Jakob Levitzki. On multiplicative systems // Compositio Mathematica. — 1950. — Т. 8. — С. 76–80.
• Jakob Levitzki. Solution of a problem of G. Koethe // American Journal of Mathematics. — The Johns Hopkins University Press, 1945. — Т. 67, вып. 3. — С. 437–442. — ISSN 0002-9327. — doi:10.2307/2371958. — JSTOR 2371958.
• Yuzo Utumi. Mathematical Notes: A Theorem of Levitzki // The American Mathematical Monthly. — Mathematical Association of America, 1963. — Т. 70, вып. 3. — С. 286. — ISSN 0002-9890. — doi:10.2307/2313127. — JSTOR 2313127.