Теорема Кёнига (механика)

Теоре́ма Кёнига позволяет выразить полную кинетическую энергию механической системы через энергию движения центра масс и энергию движения относительно центра масс. Сформулирована и доказана И. С. Кёнигом в 1751 г.[1]

Формулировка

Кинетическая энергия механической системы есть энергия движения центра масс плюс энергия движения относительно центра масс:

${\displaystyle {T\;=\;T_{0}+T_{r}}\;,}$

где ${\displaystyle T}$ — полная кинетическая энергия системы, ${\displaystyle T_{0}}$ — кинетическая энергия движения центра масс, ${\displaystyle T_{r}}$ — относительная кинетическая энергия системы[2].

Иными словами, полная кинетическая энергия тела или системы тел в сложном движении равна сумме энергии системы в поступательном движении и энергии системы в её движении относительно центра масс.

Более точная формулировка[3]:

Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в её центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии той же системы в её относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре масс.

Вывод

Приведём доказательство теоремы Кёнига для случая, когда массы тел, образующих механическую систему ${\displaystyle S}$,  распределены непрерывно[4].

Найдём относительную кинетическую энергию ${\displaystyle T_{r}}$ системы ${\displaystyle S}$,  трактуя её как кинетическую энергию, вычисленную относительно подвижной системы координат. Пусть ${\displaystyle {\vec {\rho }}}$ — радиус-вектор рассматриваемой точки системы ${\displaystyle S}$  в подвижной системе координат. Тогда[5]:

${\displaystyle T_{r}\;=\;{\frac {1}{2}}\int {\frac {{\rm {d}}{\vec {\rho }}}{{\rm {d}}t}}\cdot {\frac {{\rm {d}}{\vec {\rho }}}{{\rm {d}}t}}\,{\rm {d}}m\;,}$

где точкой обозначено скалярное произведение, а интегрирование ведётся по области пространства, занимаемой системой в текущий момент времени.

Если ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ — радиус-вектор начала координат подвижной системы, а ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радиус-вектор рассматриваемой точки системы ${\displaystyle S}$  в исходной системе координат, то верно соотношение:

${\displaystyle {\vec {r}}\;=\;{\vec {r}}_{0}+{\vec {\rho }}\;.}$

Вычислим полную кинетическую энергию системы в случае, когда начало координат подвижной системы помещено в её центр масс. С учётом предыдущего соотношения имеем:

${\displaystyle T\;=\;{\frac {1}{2}}\int {\frac {{\rm {d}}{\vec {r}}}{{\rm {d}}t}}\cdot {\frac {{\rm {d}}{\vec {r}}}{{\rm {d}}t}}\,{\rm {d}}m\;=\;{\frac {1}{2}}\int \left({\frac {{\rm {d}}{\vec {r}}_{o}}{{\rm {d}}t}}+{\frac {{\rm {d}}{\vec {\rho }}}{{\rm {d}}t}}\right)\cdot \left({\frac {{\rm {d}}{\vec {r}}_{o}}{{\rm {d}}t}}+{\frac {{\rm {d}}{\vec {\rho }}}{{\rm {d}}t}}\right)\,{\rm {d}}m\;.}$

Учитывая, что радиус-вектор ${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ одинаков для всех ${\displaystyle {\rm {d}}m}$, можно, раскрыв скобки, вынести ${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}{\vec {r}}_{0}}{{\rm {d}}t}}}$ за знак интеграла:

${\displaystyle T\;=\;{\frac {1}{2}}{\frac {{\rm {d}}{\vec {r}}_{0}}{{\rm {d}}t}}\cdot {\frac {{\rm {d}}{\vec {r}}_{0}}{{\rm {d}}t}}\int \,{\rm {d}}m\,\,+\,\,{\frac {{\rm {d}}{\vec {r}}_{0}}{{\rm {d}}t}}\cdot \int {\frac {{\rm {d}}{\vec {\rho }}}{{\rm {d}}t}}\,{\rm {d}}m\,\,+\,\,{\frac {1}{2}}\int {\frac {{\rm {d}}{\vec {\rho }}}{{\rm {d}}t}}\cdot {\frac {{\rm {d}}{\vec {\rho }}}{{\rm {d}}t}}\,{\rm {d}}m\;.}$

Первое слагаемое в правой части этой формулы (совпадающее с кинетической энергией материальной точки, которая помещена в начало координат подвижной системы и имеет массу, равную массе механической системы) может интерпретироваться[2] как кинетическая энергия движения центра масс.

Второе слагаемое равно нулю, поскольку второй сомножитель в нём равен импульсу системы относительно центра масс, который равен нулю.

Третье же слагаемое, как было уже показано, равно ${\displaystyle T_{r}}$, то есть относительной кинетической энергии системы ${\displaystyle S}$.

См. также

• Иоганн Самуэль Кёниг
• Теорема о движении центра масс системы
• Кинетическая энергия
• Закон сохранения энергии

Примечания

1. Гернет, 1987, с. 258.
2. Журавлёв, 2001, с. 72.
3. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Физматлит, 2005. — Т. I. Механика. — С. 137—138. — 560 с. — ISBN 5-9221-0225-7.
4. Журавлёв, 2001, с. 71—72.
5. Журавлёв, 2001, с. 71.

Литература

• Гернет М. М.  Курс теоретической механики. 5-е изд. — М.: Высшая школа, 1987. — 344 с.
• Журавлёв В. Ф.  Основы теоретической механики. 2-е изд. — М.: Физматлит, 2001. — 320 с. — ISBN 5-94052-041-3.