Теорема Бендиксона об отсутствии замкнутых траекторий

Теорема Бендиксона утверждает, что если дивергенция векторного поля на плоскости (или двумерном многообразии) знакопостоянна и отлична от нуля в некоторой односвязной области, то отсутствуют замкнутые фазовые кривые этого поля, целиком лежащие в этой области. В частности, признак позволяет показать, что в области отсутствуют предельные циклы.

Теорема Бендиксона является частным случаем критерия Дюлака.

Строгая формулировка

Рассмотрим векторное поле ${\displaystyle v(x)}$, заданное в некоторой односвязной области ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (x\in U\subset \mathbb {R} ^{2})}$. Допустим, что во всей области ${\displaystyle U}$ дивергенция поля ${\displaystyle v}$ не меняет знак и отлична от нуля. Тогда фазовые кривые автономного дифференциального уравнения ${\displaystyle {\dot {x}}=v(x)}$ не имеют замкнутых траекторий, целиком лежащих в ${\displaystyle U}$.

Не ограничивая общности, в дальнейшем будем считать, что дивергенция имеет положительный знак. Если поле ${\displaystyle v}$ записывается в координатах как ${\displaystyle v(x)={\big (}v_{1}(x_{1},x_{2}),v_{2}(x_{1},x_{2}){\big )}}$, то условие теоремы записывается в виде

${\displaystyle {\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}>0}$

для всех ${\displaystyle x\in U}$.

Доказательство

Будем рассуждать от противного. Предположим, что существует замкнутая траектория ${\displaystyle \gamma \subset U}$. Рассмотрим поток поля ${\displaystyle v}$ через контур ${\displaystyle \gamma }$:

${\displaystyle h=\oint \limits _{\gamma }v(x)\,dl.}$

Поскольку поле касается контура, этот поток равен нулю. С другой стороны, согласно формуле Грина, этот поток равен интегралу от дивергенции поля по области ${\displaystyle V}$, ограниченной ${\displaystyle \gamma }$ и лежащей в ${\displaystyle U}$ в силу односвязности последней:

${\displaystyle h=\int \limits _{V}\operatorname {div} v(x)\,dx_{1}dx_{2}>0.}$

Последнее неравенство справедливо в виду знакопостоянства подынтегрального выражения. Противоречие доказывает теорему.

Литература

• Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Справочное пособие по высшей математике. Т. 5. М.: Эдиториал УРСС, 2001., с. 306.