Поток векторного поля

Пото́к ве́кторного по́ля — термин, используемый в математике для двух различных понятий:

• поток векторного поля через поверхность, это понятие широко используется и в физике, особенно в электродинамике;

• фазовый поток — поток векторного поля ${\displaystyle {\vec {A}}}$ — однопараметрическое семейство диффеоморфизмов ${\displaystyle \Gamma _{t}}$, определяемых дифференциальным уравнением ${\displaystyle {\vec {A}}(\Gamma _{t}(x))=d\Gamma _{t}(x)/dt}$.

Ниже представлено первое из названных понятий (второму посвящена отдельная статья).

Поток векторного поля через поверхность

Поток векторного поля через поверхность — поверхностный интеграл второго рода по поверхности ${\displaystyle S}$. По определению,

${\displaystyle {{\Phi }_{F}}=\iint \limits _{S}{\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS}}$,

где ${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F(X)} }$ — векторное поле (вектор-функция векторного аргумента — точки пространства), ${\displaystyle \mathbf {n} }$ — единичный вектор положительной нормали к поверхности (положительное направление выбирается для ориентируемой поверхности условно, но одинаково для всех точек — то есть для дифференцируемой поверхности — так, чтобы ${\displaystyle \mathbf {n} }$ было непрерывно; для неориентируемой поверхности это не важно, так как поток через неё всегда ноль), ${\displaystyle dS}$ — элемент поверхности.

В трёхмерном случае ${\displaystyle \mathbf {X} =(x,y,z),\mathbf {F} =\mathbf {F(X)} =\left(F_{x}(\mathbf {X} ),F_{y}(\mathbf {X} ),F_{z}(\mathbf {X} )\right)}$, а поверхностью является обычная двумерная поверхность.

Иногда применяется обозначение

${\displaystyle d\mathbf {S} =\mathbf {n} \,dS}$.

тогда поток записывается в виде

${\displaystyle {{\Phi }_{F}}=\iint \limits _{S}{\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} }}$.

Размерность потока — это размерность величины ${\displaystyle \mathbf {F} }$, домноженная на квадратный метр (в СИ).

Некоторые физические примеры

Из гидродинамики

Пусть движение несжимаемой жидкости единичной плотности в пространстве задано векторным полем скорости течения ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} (x,y,z)}$. Тогда объём жидкости, который протечёт за единицу времени через поверхность ${\displaystyle S}$, будет равен потоку векторного поля ${\displaystyle \mathbf {v} }$.

Если плотность равна ${\displaystyle \rho }$, то масса жидкости, которая протечёт за единицу времени через поверхность будет равна потоку величины ${\displaystyle \rho \mathbf {v} }$:

${\displaystyle {\frac {dM}{dt}}={{\Phi }_{\rho \mathbf {v} }}=\iint \limits _{S}{\rho \mathbf {v} \cdot d\mathbf {S} }}$.

Из электродинамики

В основных уравнениях электродинамики — уравнениях Максвелла — фигурируют потоки вектора электрической индукции и вектора магнитной индукции

${\displaystyle {{\Phi }_{D}}=\iint \limits _{S}{\mathbf {D} \cdot d\mathbf {S} }\quad }$ и ${\displaystyle \quad {{\Phi }_{B}}=\iint \limits _{S}{\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} }}$.

А именно, эти потоки, если они вычислены для замкнутой поверхности, равны заряду внутри поверхности:

${\displaystyle \oint \limits _{S}{\mathbf {D} \cdot d\mathbf {S} }=Q\quad }$ и ${\displaystyle \quad \oint \limits _{S}{\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} }=0}$,

где ${\displaystyle Q}$ — электрический заряд, а поток вектора ${\displaystyle \mathbf {B} }$ нулевой, так как магнитные заряды не существуют.

Ещё пример из электродинамики. Электрический ток представляет собой поток векторного поля плотности тока:

${\displaystyle I=\iint \limits _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S} }$

через поперечное сечение токоведущего проводника.

О понятии плотности потока

Если векторным полем ${\displaystyle \mathbf {F} }$, поток которого вычисляется, характеризуется перенос какой-либо скалярной величины (например, массы в примере с жидкостью или заряда в примере с током; другие возможные случаи — перенос энергии, перенос спина), то такое поле в данном контексте называется плотностью потока. В таких случаях ${\displaystyle \mathbf {F} }$ имеет структуру ${\displaystyle \mathbf {F} =\rho _{f}\mathbf {v} }$, где ${\displaystyle \rho _{f}}$ обозначает плотность переносимой величины (массы в кг/м^3, заряда в Кл/м^3, энергии в Дж/м^3 и т.д.), а ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — скорость переноса. Если не переносится ничего (как для потока ${\displaystyle \mathbf {D} }$, ${\displaystyle \mathbf {B} }$), подобное название не имеет смысла.

См. также

• Плотность потока
• Теорема Гаусса
• Векторная трубка

Ссылки

Кочин Н. Е., Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, М.: "Наука", 1965, §14