Теорема Асколи — Арцела

Теорема Арцела́ — утверждение, которое представляет собой критерий предкомпактности множества в полном метрическом пространстве в том специальном случае, когда рассматриваемое пространство — пространство непрерывных функций на отрезке вещественной прямой. Названа в честь автора, Чезаре Арцела.

Теорема Арцела — Асколи (или Асколи — Арцела) — это обобщение теоремы Арцела на тот случай, когда рассматриваются семейства отображений метрических компактов (обобщённая теорема Арцела).

Применение теоремы Арцела связано со специальными свойствами рассматриваемых семейств, а именно: с равномерной ограниченностью и равностепенной непрерывностью.

Введение

В математическом анализе (а затем и в функциональном анализе) рассматриваются всевозможные семейства непрерывных функций, заданных на специальных множествах (метрических компактах) и исследуется вопрос о «полноте» таких семейств. В частности, возникает вопрос о существовании предела, например, у последовательности непрерывных числовых функций, заданных на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, а также о свойствах данного предела. Согласно критерию Коши, равномерный предел непрерывных функций, также является непрерывной функцией, что означает полноту пространства ${\displaystyle C[a,b]}$. Существенным здесь является то, что область определения функций — компактное подмножество вещественной прямой (отрезок), а функции принимают значение в полном метрическом пространстве. Аналогичный результат мы получим если возьмём класс непрерывных отображений произвольного метрического компакта в полное метрическое пространство.

Полнота класса ${\displaystyle C[a,b]}$ позволяет приблизить всякую непрерывную функцию последовательностью приближений, каждое из которых является функцией в некотором смысле «более простой» чем исходная. Об этом говорит теорема Вейерштрасса: каждую непрерывную функцию на отрезке можно сколь угодно точно приблизить полиномами.

Теорема Арцела относится к тому случаю, когда рассматривается некоторое семейство непрерывных функций ${\displaystyle F\subset C(K,Y)}$, где ${\displaystyle K}$ — метрический компакт, а ${\displaystyle Y}$ — полное метрическое пространство, и исследуется вопрос о том, можно ли выделить из этого семейства сходящуюся подпоследовательность. Поскольку пространство ${\displaystyle C(K,Y)}$ полное, то существование предельной точки означает, по существу, предкомпактность семейства ${\displaystyle F}$ в ${\displaystyle C(K,Y)}$. Поэтому теорему можно сформулировать в общем виде, говоря именно о предкомпактности.

Таким образом, Теорема Арцела представляет собой критерий предкомпактности семейства непрерывных функций, заданных на компакте и действующих в полное метрическое пространство.

Существующий критерий предкомпактности множества в полном пространстве требует проверки вполне ограниченности данного множества. На практике, такой критерий не является эффективным. Поэтому представляется целесообразным каким-то образом использовать свойства самих функций, входящих в семейство, чтобы получить критерий предкомпактности, пригодный для применения на практике.

В ходе исследований оказалось, что такими свойствами являются свойства равномерной ограниченности и равностепенной непрерывности рассматриваемого семейства.

Упоминание о равностепенной непрерывности было сделано одновременно Джулио Асколи(1883—1884)[1] и Чезаре Арцела (1882—1883)[2]. Слабая форма теоремы была доказана Асколи в 1883—1884[1], который установил достаточное условия компактности, и Арцелой в 1895[3], который привёл необходимое условие и дал первую чёткую интерпретацию результата. Дальнейшее обобщение теоремы было доказано Фреше (1906)[4] для пространств, в которых понятие предела имеет смысл, например, метрического пространства или хаусдорфового Данфорд, Шварц (1958)[5]. Современные формулировки теоремы позволяют области и диапазону быть метрическими пространствами. Наиболее общая формулировка теоремы даёт необходимое и достаточное условия для того, чтобы семейство функций из компактного хаусдорфового пространства в Равномерное пространство^[англ.] было компактным в топологии равномерной сходимости Бурбаки (1998, § 2.5)[6].

Определения

Рассмотрим пространство ${\displaystyle C[a,b]}$ непрерывных функций, заданных на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, вместе с метрикой равномерной сходимости. Это — полное метрическое пространство. Известно, что:

• Для того, чтобы некоторое подмножество полного метрического пространства было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было вполне ограниченным.

В случае пространства ${\displaystyle C[a,b]}$, однако, можно использовать более эффективный критерий предкомпактности, но для этого придётся ввести два следующих ниже понятия.

Положим, что ${\displaystyle F}$ — некоторое семейство непрерывных функций, заданных на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$.

Равномерная ограниченность

Семейство ${\displaystyle F}$ называется равномерно ограниченным, если существует единая для всех элементов семейства постоянная ${\displaystyle K}$, которой ограничены все функции семейства:

${\displaystyle \forall f\in F\quad \forall x\in [a,b]\quad |f(x)|<K}$.

Равностепенная непрерывность

Семейство ${\displaystyle F}$ называется равностепенно непрерывным, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует ${\displaystyle \delta >0}$ такая, что для всякого элемента ${\displaystyle f\in F}$ и для любых точек ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ таких, что ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$, выполняется строгое неравенство ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$.

Формулировка

Теорема.

Функциональное семейство ${\displaystyle F}$ является предкомпактным в полном метрическом пространстве ${\displaystyle C[a,b]}$ тогда и только тогда, когда это семейство является равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным.

Доказательство

Фактически, необходимо показать, что оба указанных свойства семейства функций эквивалентны вполне ограниченности данного семейства.

Необходимость

Итак, пусть семейство ${\displaystyle F}$ — вполне ограниченное.

Фиксируем ${\displaystyle \varepsilon >0}$ и построим конечную ${\displaystyle (\varepsilon /3)}$-сеть вида: ${\displaystyle \{\varphi _{i}\}_{i=1}^{n}}$.

Поскольку каждая функция данной системы непрерывна и, следовательно, ограничена, то для каждой такой функции существует своя константа ${\displaystyle K_{i}}$ такая что, ${\displaystyle |\varphi _{i}(x)|<K_{i}}$ для всякого ${\displaystyle x\in [a,b]}$.

Поскольку таких функций конечное множество, то можно взять ${\displaystyle K=\max _{i}K_{i}+\varepsilon /3}$.

Теперь, если взять произвольную функцию ${\displaystyle f\in F}$, то для этой функции существует такой элемент ${\displaystyle \varphi _{i}}$ ${\displaystyle (\varepsilon /3)}$-сети, что ${\displaystyle |f(x)-\varphi _{i}(x)|<\varepsilon /3}$ для всякого ${\displaystyle x\in [a,b]}$. Очевидно, что в этом случае функция ${\displaystyle f}$ будет ограничена константой ${\displaystyle K}$.

Тем самым показано, что семейство ${\displaystyle F}$ является равномерно ограниченным.

Опять же, в силу непрерывности каждого элемента ${\displaystyle (\varepsilon /3)}$-сети, этот элемент оказывается также и равномерно непрерывным и, следовательно, по ${\displaystyle (\varepsilon /3)}$ можно подобрать такое ${\displaystyle \delta _{i}}$ такое, что ${\displaystyle |\varphi _{i}(x_{1})-\varphi _{i}(x_{2})|<\varepsilon /3}$ для любых точек ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in [a,b]}$ таких, что ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta _{i}}$.

Положим ${\displaystyle \delta =\min _{i}\delta _{i}}$.

Если теперь рассмотреть произвольную функцию ${\displaystyle f\in F}$, то для заданного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ будет иметь место строгое неравенство ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }$ для любых точек ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in [a,b]}$ таких, что ${\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }$.

Действительно, ${\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant |f(x_{1})-\varphi _{i}(x_{1})|+|\varphi _{i}(x_{1})-\varphi _{i}(x_{2})|+|\varphi _{i}(x_{2})-f(x_{2})|<\varepsilon /3+\varepsilon /3+\varepsilon /3=\varepsilon }$, где ${\displaystyle \varphi _{i}}$ — подходящий элемент ${\displaystyle (\varepsilon /3)}$-сети.

Тем самым показано, что семейство ${\displaystyle F}$ является равностепенно непрерывным.

Другими словами, вполнеограниченность влечёт равномерную ограниченность и равностепенную непрерывность.

Достаточность

Теперь необходимо доказать, что равномерная ограниченность и равностепенная непрерывность семейства ${\displaystyle F}$ влечёт существование конечной ${\displaystyle \varepsilon }$-сети для всякого конечного ${\displaystyle \varepsilon >0}$.

Фиксируем ${\displaystyle \varepsilon >0}$.

Пусть ${\displaystyle K}$ — это константа, которая фигурирует в определении равномерной ограниченности.

Выберем такое ${\displaystyle \delta >0}$, которое фигурирует в определении равномерной непрерывности и соответствует величине ${\displaystyle \varepsilon /5}$.

Рассмотрим прямоугольник ${\displaystyle [a,b]\times [-K,K]}$ и разобьём его вертикальными и горизонтальными прямыми на прямоугольные ячейки размером меньше чем ${\displaystyle \delta }$ по горизонтали и ${\displaystyle \varepsilon /5}$ по вертикали. Пусть ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle \dots }$ , ${\displaystyle x_{N}}$ — узлы этой решётки (по оси абсцисс).

Если теперь рассмотреть произвольную функцию ${\displaystyle f\in F}$, то для каждого узла ${\displaystyle x_{i}}$ решётки обязательно найдётся такая точка ${\displaystyle (x_{i},y_{j})}$ решётки, что ${\displaystyle |f(x_{i})-y_{j}|<\varepsilon /5}$. Если теперь рассмотреть ломаную функцию ${\displaystyle \varphi }$, которая в узлах принимает соответствующие значения, уклоняющиеся от функции не более чем на ${\displaystyle \varepsilon /5}$, то в силу того что сама функция уклоняется на каждом отрезке не более чем на ${\displaystyle \varepsilon /5}$, ломаная на каждом таком отрезке уклоняется не более чем на ${\displaystyle 3\varepsilon /5}$.

Поскольку каждая точка ${\displaystyle x}$ отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ оказывается на одном из таких отрезков, скажем, ${\displaystyle [x_{k},x_{k}+1]}$, то получается что уклонение функции от построенной таким образом ломанной не превосходит ${\displaystyle \varepsilon }$:

${\displaystyle |f(x)-\varphi (x)|\leqslant |f(x)-f(x_{k})|+|f(x_{k})-\varphi (x_{k})|+|\varphi (x_{k})-\varphi (x)|<\varepsilon /5+\varepsilon /5+3\varepsilon /5=\varepsilon }$.

Тем самым показано, что конечная (!) система ломанных функций указанного вида является ${\displaystyle \varepsilon }$-сетью для заданного ${\displaystyle \varepsilon >0}$.

Приложения

Теорема Арцела находит своё применение в теории дифференциальных уравнений.

В теореме Пеано (о существовании решения задачи Коши) строится система функций, которая в теории дифференциальных уравнений носит название ломаных Эйлера. Эта система оказывается равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным семейством функций, из которого, согласно теореме Арцела можно выделить равномерно сходящуюся последовательность функций, предел которой и будет искомым решением задачи Коши.

См. также

• Лемма Арцела
• Теорема Монтеля о компактном семействе функций — следствие из теоремы Арцела.

Литература

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. третье, переработанное. — М.: Наука, 1972. — 496 с.

Примечания

1. Ascoli, G. (1883—1884), «Le curve limiti di una varietà data di curve», Atti della R. Accad. Dei Lincei Memorie della Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 18 (3): 521—586.
2. Arzelà, Cesare (1882—1883), «Un’osservazione intorno alle serie di funzioni», Rend. Dell' Accad. R. Delle Sci. Dell’Istituto di Bologna: 142—159.
3. Arzelà, Cesare (1895), «Sulle funzioni di linee», Mem. Accad. Sci. Ist. Bologna Cl. Sci. Fis. Mat. 5 (5): 55-74.
4. Fréchet, Maurice (1906), «Sur quelques points du calcul fonctionnel», Rend. Circ. Mat. Palermo 22: 1-74, doi:10.1007/BF03018603.
5. Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Linear operators, volume 1, Wiley-Interscience.
6. Bourbaki, Nicolas (1998), General topology. Chapters 5-10, Elements of Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1726872, ISBN 978-3-540-64563-4.