Стягиваемое пространство

Стягиваемое пространство — топологическое пространство, гомотопически эквивалентное точке. Это условие равносильно тому, что тождественное отображение на ${\displaystyle X}$ гомотопно постоянному.

Локально стягиваемое пространство — топологическое пространство, каждая точка которого обладает стягиваемой окрестностью.

Свойства

Пространство ${\displaystyle X}$ стягиваемо тогда и только тогда, когда существует ${\displaystyle x_{0}\in X}$ такое, что ${\displaystyle \{x_{0}\}}$ — деформационный ретракт пространства ${\displaystyle X}$.

Стягиваемые пространства всегда односвязны; обратное утверждение, в общем случае, не имеет места, стягиваемость — более сильное ограничение, чем односвязность.

Всякое непрерывное отображение стягиваемых пространств является гомотопической эквивалентностью. Два любых непрерывных отображения произвольного пространства в стягиваемое гомотопны; притом если два любых непрерывных отображения в ${\displaystyle X}$ гомотопны, то ${\displaystyle X}$ — стягиваемое пространство.

Конус ${\displaystyle \mathrm {C} X}$ для данного пространства ${\displaystyle X}$ — стягиваемое пространство, таким образом, любое пространство ${\displaystyle X}$ может быть вложено в стягиваемое, что, в свою очередь, свидетельствует о том, что не всякое подпространство стягиваемого пространства стягиваемо. Кроме того, ${\displaystyle X}$ стягиваемо тогда и только тогда, когда существует ретракция ${\displaystyle \mathrm {C} X\to X}$.

Примеры и контрпримеры

Стягиваемы ${\displaystyle n}$-мерное вещественное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, любое выпуклое подмножество евклидова пространства, в частности — ${\displaystyle n}$-мерный шар.

Сфера в бесконечномерном гильбертовом пространстве стягиваема, но при этом ${\displaystyle n}$-мерные евклидовы сферы нестягиваемы. Всякое непрерывное отображение ${\displaystyle n}$-мерной сферы в стягиваемое пространство можно непрерывно продолжить на ${\displaystyle n+1}$-мерный шар.

Другие примечательные стягиваемые пространства — многообразие Уайтхеда (трёхмерное многообразие, не гомеоморфное ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$), многообразие Мазура^[англ.] (четырёхмерное гладкое многообразие с краем, не диффеоморфное четырёхмерному шару), дом Бинга, шутовской колпак.

Все многообразия и CW-комплексы локально стягиваемы, но не стягиваемы в общем случае.

Литература

• Э. Спеньер. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971. — С. 39—42. — 680 с.