Соприкасающаяся окружность

Соприкасающаяся окружность

Соприкаса́ющаяся окру́жность, окру́жность кривизны́ — окружность, являющаяся наилучшим приближением заданной кривой в окрестности данной точки. В этой точке кривая и означенная окружность имеют касание, порядок которого не ниже 2. Окружность кривизны существует в каждой точке дважды дифференцируемой кривой с отличной от нуля кривизной; в случае нулевой кривизны в качестве соприкасающейся надлежит рассматривать касательную прямую — «окружность бесконечного радиуса».

Соприкасающаяся окружность (или прямая) в точке ${\displaystyle P}$ кривой также может быть определена как предельное положение окружности (или прямой), проходящей через ${\displaystyle P}$ и две близкие к ней точки ${\displaystyle P_{1},\ P_{2}}$, когда ${\displaystyle P_{1},\ P_{2}}$ стремятся к ${\displaystyle P}$.

Связанные определения

• Центр соприкасающейся окружности называют центром кривизны, а радиус — радиусом кривизны. Радиус кривизны является величиной, обратной кривизне кривой в заданной точке:

  ${\displaystyle r^{-1}=k}$

• Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой.

Координаты центра кривизны

Центр кривизны функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в точке ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ находится в следующей точке[1][2]:

${\displaystyle {\Bigg (}x_{0}-{\frac {f'(x_{0})(1+(f'(x_{0}))^{2})}{f''(x_{0})}},f(x_{0})+{\frac {1+(f'(x_{0}))^{2}}{f''(x_{0})}}{\Bigg )}}$

Свойства

• Центр соприкасающейся окружности всегда лежит на главной нормали кривой; отсюда следует, что эта нормаль всегда направлена в сторону вогнутости кривой.
• Инверсия соприкасающейся окружности есть соприкасающеяся окружность инверсии кривой в соответствующей точке.
• В вершинах кривой и только в них порядок касания соприкасающейся окружности превосходит 2.
• Теорема Тэйта — Кнезера утверждает, что если кривизна гладкой плоской кривой монотонна, то соприкасающиеся окружности этой кривой вложены друг в друга.

История

Понятие соприкасающейся окружности (лат. circulum osculans) было введено Лейбницем. Соответствующая геометрическая конструкция содержатся также в книге «Математические начала натуральной философии» Исаака Ньютона.

Вариации и обобщения

• Соприкасающаяся сфера пространственной кривой ${\displaystyle \gamma }$ есть сфера ${\displaystyle \Sigma _{s}}$ с центром в точке

  ${\displaystyle p(s)=\gamma (s)+{\tfrac {1}{k(s)}}\cdot \nu (s)-{\tfrac {k'(s)}{k^{2}(s)\cdot \varkappa (s)}}\cdot \beta (s),}$

проходящая через ${\displaystyle \gamma (s)}$. Здесь ${\displaystyle k(s)}$ и ${\displaystyle \varkappa (s)}$ обозначают кривизну и кручение кривой, ${\displaystyle \tau }$, ${\displaystyle \nu }$, ${\displaystyle \beta }$ — трёхгранник Френе.

• В случае, если кривизна и кручение кривой отличны от нуля, соприкасающаяся сфера определена и является единственной сферой, с которой кривая имеет степень соприкосновения хотя бы 3.

Примечания

1. Шнейдер В. Е. и др. Краткий курс высшей математики. Учеб. пособие для втузов. М., «Высш. школа» с. 870  (неопр.). Дата обращения: 26 мая 2020. Архивировано 15 января 2022 года.
2. UpByte.Net  (неопр.). Дата обращения: 26 мая 2020. Архивировано 5 июня 2020 года.