Развитие числовой системы в исламском мире

Эволюция арабских цифр

Данная статья — часть обзора Математика исламского Средневековья.

Числовая система, используемая в исламском мире, прошла значительную эволюцию, начиная с первых веков исламской цивилизации. Буквенная абджадия была первой системой арабской нумерации[1], а с VIII века багдадская школа предложила индийскую позиционную систему. В IX веке аль-Хорезми написал книгу «Об индийском счёте», способствовавшей популяризации позиционной системы во всём Халифате, вплоть до мусульманской Испании. В этом сочинении впервые было дано систематическое изложение арифметики, основанной на десятичной позиционной системе счисления. В XII веке эта книга переводится на латинский[2].

От имени аль-Хорезми произошло слово «алгоритм». В отличие от современного понятия, которое означает любой набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения результата решения задачи, в средние века европейские математики так называли арифметику, основанную на десятичной позиционной системе счисления, а позднее так стало называться любое вычисление по строго определённым правилам[3].

Математики исламского мира внесли существенный вклад в развитие числовой теории, соединив понятия древнегреческой математики о числах и величинах в единую концепцию вещественных чисел. Они развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа, что позволило им лучше понять и классифицировать рациональные и иррациональные величины. Значительные достижения в этой области были сделаны такими учеными, как Мухаммад аль-Махани, который исследовал квадратичные и кубические иррациональные числа, и Абу Камил, который был первым, кто признал иррациональные числа решением квадратных уравнений.

Развитие числовой системы также включало усовершенствование представления дробей, работу с отрицательными числами и внедрение десятичных дробей. Важной вехой стало использование символа нуля, который играл ключевую роль в позиционной системе и был заимствован из индийской математики. Работы таких ученых, как аль-Каши, Абу аль-Вафа аль-Бузджани и аль-Караджи, способствовали углубленному пониманию и практическому применению этих концепций в науке и торговле, что оказало значительное влияние на последующее развитие математики в мире.

Рациональные и иррациональные числа

Математики исламского мира соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях[Прим. 1], в противовес ей развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин.

Аль-Махани

В своих комментариях к Книге 10 «Начал» Евклида, персидский математик аль-Махани (820–880) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа и более общие кубические иррациональные числа. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами. Он легко оперировал этими объектами, но рассуждал как об обособленных объектах, например[4]:

Рациональными являются, например, 10, 12, 3%, 6% и так далее, поскольку эти величины произнесены и выражены количественно. Что не рационально, то иррационально, и невозможно произнести или представить соответствующую величину количественно. Например, квадратные корни чисел таких, как 10, 15, 20 — не являющихся квадратами.

В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, аль-Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни — иррациональными. Он также ввёл арифметический подход ко множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность результата сложения иррациональной величины и рациональной, результата вычитания рациональной величины из иррациональной и результата вычитания иррациональной величины из рациональной[4].

Абу Камил, аль-Хашими и аль-Хазин

Египетский математик Абу Камил (850—930) был первым, кто счёл приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях — в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени[5]. В X веке иракский математик аль-Хашими вывел общие доказательства, а не наглядные геометрические демонстрации, иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами[6]. Абу Джафар аль-Хазин (900—971) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины[7]:

Пусть единична величина содержится в данной величине один или несколько раз, тогда эта данная величина соответствует целому числу… Каждая величина, которая составляет половину, или треть, или четверть единичной величины, или, сравнённая с единичной величиной составляет три пятых от неё, это рациональная величина. И в целом, всякая величина, которая относится к единичной как одно число к другому, является рациональной. Если же величина не может быть представлена как несколько или часть (1/n), или несколько частей (m/n) единичной длины, она иррациональная, то есть невыразимая иначе как с помощью корней.

Дроби и число ноль

Существенным элементом представления десятичных разрядов чисел является символ нуля, который указывает на отсутствие значения в соответствующем разряде: например, число 304 содержит трижды 100, ни разу 10 и четырежды 1; в отличие от числа 34, которое содержит трижды 10 и четыре раза 1. Эта важная концепция нуля восходит к индийской математике, где она использовалась, по крайней мере, с VII века[8]. Ноль по-арабски назывался сифр («пустой», «ничто»); это название породило, среди прочего, немецкое слово «Ziffer» и английское «zero», обозначающие ноль, а также русское, украинское, болгарское и сербское слово «цифра», польское «cyfra» и чешское «cifra»[9].

Дроби в арабской математике, в отличие от теоретической арифметики древних греков, считались такими же полноценными числами, как и натуральные. Сперва их записывали вертикально, как индийцы, а современную черту дроби впервые в истории ввёл аль-Хасар около 1200-го года. Наряду с привычными дробями в быту традиционно использовали разложение на египетские аликвотные дроби (вида 1/n), а в астрономии — 60-ричные вавилонские. Аль-Уклидиси (920—980) был первым, кто ввёл десятичные дроби, однако при нём они не получили широкого распространения. В Европе первый набросок арифметики десятичных дробей появился только в XIV веке благодаря Иммануилу Бонфису (1300—1377). В XV веке аль-Каши (1380—1429) изложил их полную теорию, ошибочно утверждая, что является первооткрывателем десятичных дробей[10], после него они получили распространение в Османской империи, а победоносное их шествие в христианской Европе началось лишь в 1585 году благодаря трудам Симона Стевина.

Отрицательные числа

Определённый прогресс был достигнут с отрицательными числами. В X веке, Абу Камил проиллюстрировал правила знаков для раскрытия скобок в произведении выражений вида ${\displaystyle (a\pm b)(c\pm d)}$, а аль-Караджи в своей книге «Аль-Фахри» отметил, что «отрицательные величины должны учитываться как отдельные члены». Позже, Абу аль-Вафа аль-Бузджани в своём труде «Книга о том, что необходимо из науки арифметики для писцов и купцов» рассматривал долги как отрицательные числа[11]. В XII веке преемники аль-Караджи, такие как аль-Самуал, сформулировали общие правила работы с отрицательными числами и использовали их для деления многочленов[12]:

Умножение отрицательного числа — al-nāqiṣ (убыток) — на положительное число — al-zāʾid (прибыль) — отрицательно, а на отрицательное число — положительно. Если мы вычитаем отрицательное число из большего отрицательного числа, остаток будет их отрицательной разностью. Разность останется положительной, если мы вычтем отрицательное число из меньшего отрицательного числа. Если мы вычтем отрицательное число из положительного числа, остаток будет их положительной суммой.Ибн Яхья аль-Магриби аль-Самуал[12]

Аль-Кушчи в XV веке использовал отрицательные числа в своей книге «Мухаммедов трактат по арифметике». Перевод этой книги на латинский впервые в Европе содержал термины positivus и negativus (положительный и отрицательный).

Примечания

Комментарии

1. Основные идеи Евклида заключались в том, что отношение между величинами (например, длиной отрезков) можно определить только для величин одного рода и что величины, между которыми можно установить отношения, должны быть комменсурными, то есть делиться на одинаковые части. Если величины были несоизмеримы (как, например, сторона и диагональ квадрата), то Евклид считал их не способными к установлению точного отношения.

Ссылки

1. Stephen Chrisomalis. Numerical notation: a comparative history. — Cambridge ; New York: Cambridge University Press, 2010. — 486 с. — ISBN 978-0-521-87818-0.
2. АЛЬ-ХОРЕЗМИ | Энциклопедия Кругосвет  (рус.). www.krugosvet.ru. Дата обращения: 22 августа 2024.
3. АЛЬ-ХОРЕЗМИ | Энциклопедия Кругосвет  (рус.). www.krugosvet.ru. Дата обращения: 23 августа 2024.
4. Matvievskaya, 1987, p. 253–277 [259].
5. Jacques Sesiano, «Islamic mathematics», p. 148, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan. Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics (англ.). — Springer, 2000. — ISBN 1-4020-0260-2..
6. Matvievskaya, 1987, p. 253–277 [260].
7. Matvievskaya, 1987, p. 253–277 [261].
8. Hans Wussing, H.-W. Alten, Heiko Wesemüller-Kock, Eberhard Zeidler. 6000 Jahre Mathematik: eine kulturgeschichtliche Zeitreise. — Berlin: Springer, 2008. — 2 с. — (Vom Zählstein zum Computer). — ISBN 978-3-540-77189-0, 978-3-540-77192-0, 978-3-540-77313-9, 978-3-540-77314-6.
9. J. L. Berggren, Petra G. Schmidl, J. L. Berggren. Mathematik im mittelalterlichen Islam. — Heidelberg Berlin: Springer, 2011. — 219 с. — ISBN 978-3-540-76687-2.
10. The mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: a sourcebook / Victor J. Katz, Annette Imhausen. — Princeton: Princeton University Press, 2007. — 685 с. — ISBN 978-0-691-11485-9.
11. Bin Ismail, Mat Rofa (2008), "Algebra in Islamic Mathematics", in Helaine Selin (ed.), Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, vol. 1 (2nd ed.), Springer, p. 115, ISBN 9781402045592
12. Rashed, R. The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra. — Springer, 1994-06-30. — P. 36–37. — ISBN 9780792325659.

Литература

• Matvievskaya, Galina. The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics (англ.) // Annals of the New York Academy of Sciences^[англ.] : journal. — 1987. — Vol. 500. — doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x.