Простое число Хиггса

Простое число Хиггса — такое простое число, что значение функции Эйлера от него (для простого она равна этому числу минус единица) делит квадрат произведения меньших чисел Хиггса без остатка.

В алгебраической записи — для заданного показателя ${\displaystyle a}$ простое число Хиггса ${\displaystyle {\mathfrak {H}}_{n}}$ удовлетворяет условию:

${\displaystyle \varphi ({\mathfrak {H}}_{n})|\prod _{i=1}^{n-1}{{\mathfrak {H}}_{i}}^{a}}$,

где ${\displaystyle \varphi }$ — функция Эйлера.

Несколько первых простых Хиггса для показателя 2[1]:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 43, 47, …

Число 13, например, является простым Хиггса, поскольку квадрат произведения меньших чисел Хиггса равен 5336100, и при делении на 12 получается 444675. Однако число 17 не является простым Хиггса, поскольку квадрат произведения меньших чисел Хиггса равен 901800900, и при делении его на 16 получим остаток 4.

Список наименьших простых чисел, не являющихся простыми Хиггса для степеней от 2 до 7:

Показатель	75-е простое Хиггса	Числа, меньшие 75-го числа и не являющиеся простыми Хиггса
2	827	17, 41, 73, 83, 89, 97, 103, 109, 113, 137, 163, 167, 179, 193, 227, 233, 239, 241, 251, 257, 271, 281, 293, 307, 313, 337, 353, 359, 379, 389, 401, 409, 433, 439, 443, 449, 457, 467, 479, 487, 499, 503, 521, 541, 563, 569, 577, 587, 593, 601, 613, 617, 619, 641, 647, 653, 673, 719, 739, 751, 757, 761, 769, 773, 809, 811, 821, 823
3	521	17, 97, 103, 113, 137, 163, 193, 227, 239, 241, 257, 307, 337, 353, 389, 401, 409, 433, 443, 449, 479, 487
4	419	97, 193, 257, 353, 389
5	397	193, 257
6	389	257
7	389	257

Дальнейшие исследования показывают, что числа Ферма ${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$ не могут быть простыми Хиггса для показателя ${\displaystyle a}$, если ${\displaystyle a<2^{n}}$.

Неизвестно, имеется ли бесконечно много простых чисел Хиггса для произвольного показателя ${\displaystyle a}$, большего 1. Для ${\displaystyle a=1}$ ситуация совершенно другая — имеется только четыре таких числа: 2, 3, 7 и 43 (последовательность подозрительно похожа на последовательность Сильвестра). В 1993 году установлено, что около половины простых чисел меньших миллиона являются простыми Хиггса, в связи с чем предположено, что даже если число простых Хиггса для показателя 2 и конечно, перебрать их все с помощью компьютера нереально.

Примечания

1. последовательность A007459 в OEIS

Литература

• Burris, S.; Lee, S. Tarski’s high school identities (англ.) // Amer. Math. Monthly : journal. — 1993. — Vol. 100, no. 3. — P. 231—236 [p. 233]. — JSTOR 2324454.
• Sloane, N.; Plouffe, S. The Encyclopedia of Integer Sequences (неопр.). — New York: Academic Press, 1995. — ISBN 0-12-558630-2. M0660