Модель поверхности Боя в Обервольфахе Поверхность Боя — первый известный пример погружения вещественной проективной плоскости в трёхмерное евклидово пространство .
Поверхность построена Вернером Боем в 1901 году.
По предложению Гильберта , Бою требовалось доказать, что проективная плоскость не допускает таких погружений.
Начните со сферического колпака.
Разделите его край на шесть равных частей и прикрепите к чётным частям три полоски.
Согните каждую полоску и прикрепите другой конец к противоположному участку края колпака. При проходе через полоску должна обращаться ориентация
Склеить оставшиеся края полосок.
Поверхность Боя имеет трёхкратную осевую симметрию . То есть, существует ось такая, что любой поворот на 120° вокруг этой оси будет переводит поверхность в себя.
В частности, поверхность Боя можно разрезать на три попарно конгруэнтные части.
Поверхность Боя появляется на полпути в реализации выворачивания сферы .
Наиболее естественная параметризация была предложена Робом Кунсером и Робертом Брайантом [англ.] [ 1]
Для комплексного числа
w
{\displaystyle w}
g
1
=
−
3
2
⋅
I
m
[
w
⋅
(
1
−
w
4
)
w
6
+
5
⋅
w
3
−
1
]
g
2
=
−
3
2
⋅
R
e
[
w
⋅
(
1
+
w
4
)
w
6
+
5
⋅
w
3
−
1
]
g
3
=
I
m
[
1
+
w
6
w
6
+
5
⋅
w
3
−
1
]
−
1
2
{\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&=-{3 \over 2}\cdot \mathrm {Im} \left[{w\cdot (1-w^{4}) \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]\\g_{2}&=-{3 \over 2}\cdot \mathrm {Re} \left[{w\cdot (1+w^{4}) \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]\\g_{3}&=\mathrm {Im} \left[{1+w^{6} \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]-{1 \over 2}\\\end{aligned}}}
Поверхность
w
↦
(
g
1
,
g
2
,
g
3
)
{\displaystyle w\mapsto (g_{1},\;g_{2},\;g_{3})}
концами .
Её инверсия, то есть поверхность
w
↦
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle w\mapsto (x,\;y,\;z)}
(
x
y
z
)
=
1
g
1
2
+
g
2
2
+
g
3
2
⋅
(
g
1
g
2
g
3
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {1}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+g_{3}^{2}}}\cdot {\begin{pmatrix}g_{1}\\g_{2}\\g_{3}\end{pmatrix}}.}
и есть поверхности Боя.
Поверхность остаётся неизменной при замене
w
↦
−
1
w
¯
{\displaystyle w\mapsto -{\tfrac {1}{\bar {w}}}}
w
¯
{\displaystyle {\bar {w}}}
комплексно-сопряженное к
w
{\displaystyle w}
Kirby, Rob (November 2007), "What is Boy's surface?" (PDF) , Notices of the AMS , 54 (10): 1306—1307Архивная копия от 4 августа 2016 на Wayback Machine описывет полиэдральную модель поверхности Боя.
Kusner, Rob (1987), "Conformal geometry and complete minimal surfaces" (PDF) , Bulletin of the American Mathematical Society (New series) , 17 (2): 291—295, doi :10.1090/S0273-0979-1987-15564-9 Архивная копия от 7 сентября 2008 на Wayback Machine .Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (2011), The Boy surface at Oberwolfach Архивная копия от 26 декабря 2019 на Wayback Machine .Morin, Bernard (1978), "Equations du retournement de la sphère", C. R. Acad. Sci. Paris , 287 (13): A879—A882Sanderson, B. Boy's will be Boy's Архивная копия от 17 апреля 2007 на Wayback Machine .
Компактные
поверхности и их погружения в трёхмерное пространство
Класс гомеоформности компактной триангулируемой поверхности определяется ориентируемостью, числом компонент края и эйлеровой характеристикой.
Без края
Ориентируемые Неориентируемые
С краем Связанные
Свойства Характеристики Операции
![{\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&=-{3 \over 2}\cdot \mathrm {Im} \left[{w\cdot (1-w^{4}) \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]\\g_{2}&=-{3 \over 2}\cdot \mathrm {Re} \left[{w\cdot (1+w^{4}) \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]\\g_{3}&=\mathrm {Im} \left[{1+w^{6} \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]-{1 \over 2}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dd4c3e2ce79763b05798e596697ad5ee5df24c8)
