Пирамидальное число

Пирамидальное число — пространственная разновидность фигурных чисел, представляющее пирамиду с многоугольным основанием и заданным числом треугольных боковых сторон. Уже античные математики исследовали тетраэдральные и квадратные пирамидальные числа, для которых в основании лежат правильный треугольник и квадрат соответственно. Несложно определить числа, связанные с пирамидами, в основании которых лежит любой другой многоугольник, например:

Геометрическое представление квадратного пирамидального числа: ${\displaystyle \Pi _{4}^{(4)}=1+4+9+16=30}$.

• Пятиугольное пирамидальное число^[англ.].
• Шестиугольное пирамидальное число^[англ.].
• Семиугольное пирамидальное число^[англ.].

Определение

Пирамидальные числа определяются следующим образом.

${\displaystyle n}$-е по порядку ${\displaystyle k}$-угольное пирамидальное число ${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}}$ есть сумма первых ${\displaystyle n}$ плоских фигурных чисел ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$ с тем же числом углов ${\displaystyle k}$: ${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}=P_{1}^{(k)}+P_{2}^{(k)}+P_{3}^{(k)}+\dots +P_{n}^{(k)}}$

Геометрически пирамидальное число ${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}}$ можно представить как пирамиду из ${\displaystyle n}$ слоёв (см. рисунок), каждый из которых содержит от 1 (верхний слой) до ${\displaystyle P_{n}^{(k)}}$ (нижний) шаров.

По индукции нетрудно доказать общую формулу для пирамидального числа, известную ещё Архимеду[1]:

${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}={\frac {n(n+1)((k-2)n-k+5)}{6}}}$

(ОПФ)

Правую часть этой формулы можно также выразить через плоские многоугольные числа:

${\displaystyle \Pi _{n}^{(k)}={\frac {(k-2)n-k+5}{3}}P_{n}^{(3)}={\frac {n+1}{6}}(2P_{n}^{(k)}+n)}$

Примечания

1. Деза Е., Деза М., 2016, с. 70—71.

Литература

• Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

Ссылки

• Фигурные числа Архивная копия от 23 ноября 2018 на Wayback Machine
• Figurate Numbers Архивная копия от 10 июня 2019 на Wayback Machine на сайте MathWorld (англ.)
• Centered Polygonal Number Архивная копия от 18 марта 2020 на Wayback Machine на сайте MathWorld (англ.)