Перестановочные операторы

Перестановочные операторы — ограниченный линейный оператор ${\displaystyle B}$ и линейный оператор ${\displaystyle T}$, для которых оператор ${\displaystyle TB}$ является расширением оператора ${\displaystyle BT}$: ${\displaystyle BT\subseteq TB}$. Если операторы ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle T}$ определены на всем пространстве (причем не обязательно ограничены), то они перестановочны, если ${\displaystyle BT=TB}$. В этом случае перестановочные операторы также называют коммутирующими[1]. В общем случае равенство ${\displaystyle BT=TB}$ неудобно использовать в качестве определения перестановочности, потому что тогда даже обратный оператор ${\displaystyle B^{-1}}$ не будет перестановочен с ${\displaystyle B}$, если ${\displaystyle B^{-1}}$ определён не на всём пространстве — тогда операторы ${\displaystyle BB^{-1}}$ и ${\displaystyle B^{-1}B}$ будут иметь разные области определения. Иногда для перестановочных операторов используют обозначения: ${\displaystyle B\cup T}$ или ${\displaystyle B\smile T}$[2][3].

Свойства

• Если оператор ${\displaystyle B}$ перестановочен с ${\displaystyle T_{1}}$ и перестановочен с ${\displaystyle T_{2}}$, то ${\displaystyle B}$ также перестановочен с ${\displaystyle T_{1}+T_{2}}$ и ${\displaystyle T_{1}T_{2}}$.
• Если ${\displaystyle B_{1}}$ перестановочен с ${\displaystyle T}$ и ${\displaystyle B_{2}}$ перестановочен с ${\displaystyle T}$, то операторы ${\displaystyle B_{1}+B_{2}}$ и ${\displaystyle B_{1}B_{2}}$ перестановочны с ${\displaystyle T}$.
• Если ${\displaystyle B}$ перестановочен с ${\displaystyle T}$ и существует ${\displaystyle T^{-1}}$, то ${\displaystyle B}$ перестановочен с ${\displaystyle T^{-1}}$.
• Если ${\displaystyle B}$ перестановочен с каждым из операторов ${\displaystyle T_{n}\,(n=1,2,\dots )}$, то ${\displaystyle B}$ перестановочен с ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }T_{n}}$.
• Если каждый из операторов ${\displaystyle B_{n}\,(n=1,2,\dots )}$ перестановочен с ${\displaystyle T}$, то ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }B_{n}}$ перестановочен с ${\displaystyle T}$ в предположении, что ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }B_{n}}$ ограничен, а ${\displaystyle T}$ замкнут.
• Если ${\displaystyle B}$ перестановочен с ${\displaystyle T}$ и сопряжённый оператор ${\displaystyle T^{*}}$ существует, то ${\displaystyle B^{*}}$ перестановочен с ${\displaystyle T^{*}}$[3].

Случай конечномерного пространства

В конечномерном пространстве перестановочным операторам отвечают перестановочные матрицы: ${\displaystyle AB=BA}$. Задача Фробениуса состоит в том, чтобы определить все матрицы ${\displaystyle X}$, перестановочные с данной матрицей ${\displaystyle A}$. Все решения задачи Фробениуса имеют вид

${\displaystyle X=UX_{A}U^{-1},}$

где ${\displaystyle X_{A}}$ — произвольная матрица, перестановочная с ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle U}$ — матрица, приводящая ${\displaystyle A}$ к нормальной жордановой форме ${\displaystyle J}$: ${\displaystyle A=UJU^{-1}}$. Число линейно независимых решений задачи Фробениуса определяется формулой:

${\displaystyle N=n_{1}+3n_{2}+\dots +(2t-1)n_{t},}$

где ${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{t}}$ — степени непостоянных инвариантных многочленов ${\displaystyle i_{1}(\lambda ),i_{2}(\lambda ),\dots ,i_{t}(\lambda )}$ матрицы ${\displaystyle A}$.

Если линейные операторы ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{m}}$ в конечномерном пространстве ${\displaystyle R}$ попарно перестановочны, то можно расщепить все пространство ${\displaystyle R}$ на инвариантные относительно всех операторов ${\displaystyle A_{i}}$ подпространства:

${\displaystyle R=I_{1}+I_{2}+\dots +I_{m}}$

так, чтобы минимальный многочлен любого из этих подпространств относительно любого из операторов ${\displaystyle A_{i}}$ был степенью неприводимого многочлена[4].

Перестановочные операторы всегда имеют общий собственный вектор[5]. Если дано конечное или бесконечное множество попарно перестановочных нормальных операторов ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots }$ в унитарном пространстве, то все эти операторы имеют полную ортонормированную систему общих собственных векторов. В терминах матриц это означает, что любое конечное или бесконечное множество попарно перестановочных матриц приводится к диагональному виду одним и тем же унитарным преобразованием[6].

См. также

• Полная система коммутирующих наблюдаемых

Примечания

1. Гантмахер, 1966, с. 263.
2. Войцеховский, 1984.
3. Рисс, 1979, п. 116.
4. Гантмахер, 1966, глава VIII, §2.
5. Гантмахер, 1966, с. 245.
6. Гантмахер, 1966, глава IX, §15.

Литература

• Войцеховский М. И. Перестановочные операторы // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4: Ок — Сло. — 1216 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Рисс Ф., Сёкефильви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — Изд. 2-е, доп.. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966.
• Супруненко Д. А., Тышкевич Р. И. Перестановочные матрицы. — Минск: Наука и техника, 1966. — 2500 экз.