Методы интегрирования

Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций — процедура более сложная, чем «дифференцирование», то есть нахождение производной. Зачастую, выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование — метод, при котором интеграл, путём тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла, приводится к одному или нескольким интегралам элементарных функций.

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается в введении новой переменной интегрирования. При этом, заданный интеграл приводится к интегралу элементарной функции, или к нему сводящемуся.

Общих методов подбора подстановок не существует — умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл ${\displaystyle \int F(x)dx.}$ Сделаем подстановку ${\displaystyle x=\varphi (t),}$ где ${\displaystyle \varphi (t)}$ — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда ${\displaystyle dx=\varphi '(t)\cdot dt}$ и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

${\displaystyle \int F(x)dx=\int F(\varphi (t))\cdot \varphi '(t)dt.}$

Этот метод также называют методом подведения под знак дифференциала и записывают следующим образом: функция вида ${\displaystyle v(u(x))}$ интегрируется следующим образом:

${\displaystyle \int v(u(x))dx=\int v(u(x)){\frac {d(u(x))}{d(u(x))/dx}}=\int v(u(x)){\frac {d(u(x))}{u'_{x}}}.}$

Пример: Найти ${\displaystyle \int x{\sqrt {x-3}}\,dx}$

Решение: Пусть ${\displaystyle {\sqrt {x-3}}=t}$, тогда ${\displaystyle x-3=t^{2},x=3+t^{2},dx=2tdt}$.

${\displaystyle \int x{\sqrt {x-3}}\,dx=\int (t^{2}+3)t\cdot 2tdt=2\int (t^{4}+3t^{2})dt=2\int t^{4}dt+6\int t^{2}dt={\frac {2}{5}}t^{5}+{\frac {6}{3}}t^{3}+C={\frac {2}{5}}{\sqrt {x-3}}^{5}+2{\sqrt {x-3}}^{3}+C}$

Вообще различные подстановки часто используются для вычисления интегралов, содержащих радикалы. Другим примером может служить подстановка Абеля

${\displaystyle t={d({\sqrt {x^{2}+px+q}}) \over dx},}$

применяемая для вычисления интегралов вида

${\displaystyle \int {dx \over (x^{2}+px+q)^{m \over 2}},}$

где m натуральное число[1]. Иногда применяются подстановки Эйлера. См. также об интегрировании дифференциального бинома ниже.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Пусть требуется проинтегрировать выражение ${\displaystyle R(\sin x,\cos x)}$, где R является рациональной функцией от двух переменных. Такой интеграл удобно вычислять методом подстановки:

• если ${\displaystyle R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)}$, то применяется подстановка ${\displaystyle t=\cos x}$[2];
• если ${\displaystyle R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)}$, то применяется подстановка ${\displaystyle t=\sin x}$[2];
• если ${\displaystyle R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)}$, то применяется подстановка ${\displaystyle t=\operatorname {tg} x}$[3].

Частный случай этого правила:

${\displaystyle \int \sin ^{m}x\cdot \cos ^{n}x\cdot dx}$

Выбор подстановки производится следующим образом:

• если m нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку ${\displaystyle \cos x=t}$;
• если n нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку ${\displaystyle \sin x=t}$;
• если же и n, и m чётные — удобнее сделать подстановку ${\displaystyle \operatorname {tg} x=t}$.

Пример: ${\displaystyle I=\int \sin ^{2}x\cdot \cos x\cdot dx}$.

Решение: Пусть ${\displaystyle \sin x=t}$; тогда ${\displaystyle \cos x\cdot dx=dt}$ и ${\displaystyle I=\int t^{2}dt={\frac {t^{3}}{3}}+C={\frac {\sin ^{3}x}{3}}+C}$, где C — любая константа.

Интегрирование дифференциального бинома

Основная статья: Дифференциальный бином

Для вычисления интеграла от дифференциального бинома

${\displaystyle I=\int x^{m}(a+bx^{n})^{p}\;dx,}$

где a, b — действительные числа, a m, n, p — рациональные числа, также применяется метод подстановки в следующих трёх случаях:

• ${\displaystyle p}$ — целое число. Используется подстановка ${\displaystyle x=t^{k}}$, ${\displaystyle k}$ — общий знаменатель дробей ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$;
• ${\displaystyle {\frac {m+1}{n}}}$ — целое число. Используется подстановка ${\displaystyle a+bx^{n}=t^{s}}$, ${\displaystyle s}$ — знаменатель дроби ${\displaystyle p}$.
• ${\displaystyle p+{\frac {m+1}{n}}}$ — целое число. Используется подстановка ${\displaystyle ax^{-n}+b=t^{s}}$, ${\displaystyle s}$ — знаменатель дроби ${\displaystyle p}$.

В остальных случаях, как показал П. Л. Чебышёв в 1853 году, этот интеграл не выражается в элементарных функциях[4].

Интегрирование по частям

Основная статья: Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

${\displaystyle \int u\cdot dv=u\cdot v-\int v\cdot du.}$

Или:

${\displaystyle \int u\cdot v'\cdot dx=u\cdot v-\int v\cdot u'\cdot dx.}$

В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл

${\displaystyle \int P_{n+1}(x)e^{x}\,dx,}$

где ${\displaystyle P_{n+1}(x)}$ — многочлен ${\displaystyle (n+1)}$-й степени.

Пример: Найти интеграл ${\displaystyle \int x\cdot \ln x\,dx}$.

Решение: Чтобы найти данный интеграл применим метод интегрирования по частям, для этого будем полагать, что ${\displaystyle u=\ln x\Rightarrow \displaystyle {du={\frac {dx}{x}}}}$ и ${\displaystyle dv=xdx\Rightarrow \int dv=\int xdx\Rightarrow v={\frac {x^{2}}{2}}}$, тогда согласно формуле интегрирования по частям получаем ${\displaystyle \int x\cdot \ln xdx={\frac {x^{2}\ln x}{2}}-{\frac {1}{2}}\int x^{2}\cdot {\frac {dx}{x}}={\frac {x^{2}\ln x}{2}}-{\frac {x^{2}}{4}}+C}$

Интегрирование рациональных дробей

Основная статья: Разложение дробей при интегрировании

Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.

Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Всякую правильную рациональную дробь ${\displaystyle {\tfrac {P(x)}{Q(x)}}}$, знаменатель которой разложен на множители

${\displaystyle Q(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})^{k_{i}}\cdot \prod _{j=1}^{m}(x^{2}+p_{j}x+q_{j})^{s_{j}}}$

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{i=1}^{n}{\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {A_{ij}}{(x-x_{i})^{j}}}}+\sum _{l=1}^{m}{\sum _{t=1}^{s_{m}}{\frac {\alpha _{lt}+\beta _{lt}x}{(x^{2}+p_{l}x+q_{l})^{t}}}}}$

где ${\displaystyle A_{ij},\alpha _{lt},\beta _{lt}}$ — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Пример: ${\displaystyle \int {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}\,dx.}$

Решение: Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:

${\displaystyle {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}={\frac {2x+3}{(x-3)(x+3)}}={\frac {\alpha }{(x-3)}}+{\frac {\beta }{(x+3)}}}$

Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:

${\displaystyle \alpha (x+3)+\beta (x-3)=2x+3}$

${\displaystyle (\alpha +\beta )x+3\alpha -3\beta =2x+3}$

Следовательно ${\displaystyle {\begin{cases}\alpha +\beta =2\\3\alpha -3\beta =3\\\end{cases}},{\begin{cases}\alpha ={\frac {3}{2}}\\\beta ={\frac {1}{2}}\\\end{cases}}}$

Тогда

${\displaystyle {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}={\frac {\frac {3}{2}}{x-3}}+{\frac {\frac {1}{2}}{x+3}}}$

Теперь легко вычислить исходный интеграл ${\displaystyle \int {\frac {2x+3}{x^{2}-9}}\,dx={\frac {3}{2}}\int {\frac {dx}{x-3}}+{\frac {1}{2}}\int {\frac {dx}{x+3}}={\frac {3}{2}}\ln |x-3|+{\frac {1}{2}}\ln |x+3|+C={\frac {1}{2}}\ln |(x-3)^{3}(x+3)|+C}$

Интегрирование элементарных функций

Основная статья: Алгоритм Риша

Для нахождения первообразной от элементарной функций в виде элементарной функции (или определения того, что первообразная не является элементарной) был разработан алгоритм Риша. Он полностью или частично реализован во многих системах компьютерной алгебры.

Интегрирование рациональных функций от квадратного трехчлена под корнем

Для взятия интегралов вида ${\displaystyle \int {}^{}R(x,{\sqrt[{}]{ax^{2}+bx+c}})dx}$ можно использовать подстановки эйлера с помощью которых данный интеграл, станет интегралом от рациональной функции. Но так-же возможно использовать подстановку тригонометрических функций. Суть метода заключается в преобразовании интеграла вида ${\displaystyle \int {}^{}R(x,{\sqrt[{}]{ax^{2}+bx+c}})dx}$ к интегралу вида ${\displaystyle \int R(\sin(t),\cos(t))dt}$ с дальнейшим интегрированием.

Путём выделения полного квадрата получаем:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=\pm a(x-p)^{2}+q}$

Где:

${\displaystyle a,p,q,b,c\in \mathbb {R} }$

Обозначив ${\displaystyle x-p={\mathcal {z}}}$

Можем получить следующие три интеграла:

1. ${\displaystyle \int _{}^{}R(z,{\sqrt {\xi ^{2}-z^{2}}})dz}$
2. ${\displaystyle \int R(z,{\sqrt {\xi ^{2}+z^{2}}})dz}$
3. ${\displaystyle \int _{}^{}R(z,{\sqrt[{}]{z^{2}-\xi ^{2}}})dz}$

${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$

Для первого интеграла используем подстановку:

${\displaystyle z=\xi \sin(t)\Rightarrow dz=\xi \cos(t)dt}$

${\displaystyle {\sqrt {\xi ^{2}-\xi ^{2}\sin ^{2}(t)}}=\xi \cos(t)}$ или:

${\displaystyle z=\xi cost\Rightarrow dz=-\xi sin(t)dt}$

${\displaystyle {\sqrt {\xi ^{2}-\xi ^{2}\cos ^{2}(t)}}=\xi sin(t)}$

И так приходим к интегралу вида:

${\displaystyle \int R(\sin(t),\cos(t))dt}$

Для второго интеграла используем подстановку:

${\displaystyle z=\xi \tan(t)\Rightarrow dz={\frac {\xi dt}{\cos ^{2}(t)}}}$

${\displaystyle {\sqrt {\xi ^{2}+z^{2}}}={\sqrt {\xi ^{2}+\xi ^{2}\tan ^{2}(t)}}={\frac {\xi }{\cos(t)}}}$

И снова приходим к интегралу:

${\displaystyle \int R(\sin(t),\cos(t))dt}$

Для третьего интеграла используется подстановка:

${\displaystyle z={\frac {\xi }{cos(t)}}\Rightarrow dz={\frac {\xi sin(t)}{\cos ^{2}(t)}}dt}$

${\displaystyle {\sqrt {z^{2}-\xi ^{2}}}={\sqrt {{\frac {\xi ^{2}}{\cos ^{2}(t)}}-\xi ^{2}}}=\xi {\sqrt {{\frac {1}{\ cos^{2}(t)}}-1}}=\xi \tan(t)}$

И в итоге получается интеграл:

${\displaystyle \int R(\sin(t),\cos(t))dt}$

См. также

• Символьное интегрирование
• Формулы Фруллани
• Универсальная тригонометрическая подстановка
• Подстановки Эйлера

Примечания

1. Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Книга 1. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — С. 213.
2. См. обоснование в книге: И. М. Уваренков, М. З. Маллер. Курс математического анализа. — М.: Просвещение, 1966. — Т. 1. — С. 459-460.
3. См. обоснование в книге: В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. Основы математического анализа. — 2-е изд. — М.: Наука, 1967. — С. 219. — (Курс высшей математики и математической физики).
4. P. Tchebichef. Sur l'intégration des différentielles irrationnelles (фр.) // Journal de mathématiques pures et appliquées^[англ.] : magazine. — 1853. — Vol. XVIII. — P. 87—111. Архивировано 11 февраля 2017 года.

Ссылки

• Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Mathematica
• Mathematical Assistant on Web — символьные вычисления онлайн
• Онлайн Калькулятор Интегралов