Математический маятникМатемати́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки на конце невесомой нерастяжимой нити или лёгкого стержня и находящуюся в однородном поле сил тяготения[1]. Другой конец нити (стержня) обычно неподвижен. Период малых собственных колебаний маятника длины , подвешенного в поле тяжести, равен и не зависит, в первом приближении, от амплитуды колебаний и массы маятника. Здесь — ускорение свободного падения. Математический маятник служит простейшей моделью физического тела, совершающего колебания: она не учитывает распределение массы. Однако реальный физический маятник при малых амплитудах колеблется так же, как математический с приведённой длиной. Характер движения маятникаМатематический маятник со стержнем способен колебаться только в какой-то одной плоскости (вдоль какого-то выделенного горизонтального направления) и, следовательно, является системой с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на нерастяжимую нить, получится система с двумя степенями свободы (так как становятся возможными колебания по двум горизонтальным координатам). При колебаниях в одной плоскости маятник движется по дуге окружности радиуса , а при наличии двух степеней свободы может описывать кривые на сфере того же радиуса[1]. Нередко, в том числе в случае нити, ограничиваются анализом плоского движения; оно и рассматривается далее. Уравнение колебаний маятникаЕсли в записи второго закона Ньютона для математического маятника выделить тангенциальную составляющую (), получится выражение
так как , а из действующих на точку сил тяжести и натяжения ненулевую компоненту даёт только первая. Следовательно, колебания маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением (ДУ) вида
где неизвестная функция ― это угол отклонения маятника в момент от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах, ― длина подвеса, ― ускорение свободного падения. Предполагается, что потерь энергии в системе нет. В области малых углов это уравнение превращается в
Для решения ДУ второго порядка, то есть для определения закона движения маятника, необходимо задать два начальных условия — угол и его производную при . Решения уравнения движенияВозможные типы решенийВ общем случае решение ДУ с начальными условиями для маятника может быть получено численно. Варианты движения (в случае, если маятник — это материальная точка на лёгком стержне), качественно, представлены на анимации. В каждом окне вверху показана зависимость угловой скорости от угла . По мере нарастания размаха поведение маятника всё сильнее отклоняется от режима гармонических колебаний.
Гармонические колебанияУравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия, когда уместна замена , называется гармоническим уравнением:
где ― положительная константа, определяемая только из параметров маятника и имеющая смысл собственной частоты колебаний. Кроме того, может быть осуществлён переход к переменной «горизонтальная координата» (ось лежит в плоскости качания и ортогональна нити в нижней точке):
Малые колебания маятника являются гармоническими. Это означает, что смещение маятника от положения равновесия изменяется во времени по синусоидальному закону[2]:
где — амплитуда колебаний маятника, — начальная фаза колебаний. Если пользоваться переменной , то при необходимо задать координату и скорость , что позволит найти две независимые константы , из соотношений и . Случай нелинейных колебанийДля маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен: где — это синус Якоби. Для он является периодической функцией, при малых совпадает с обычным тригонометрическим синусом. Параметр определяется выражением
Период колебаний нелинейного маятника составляет
где K — эллиптический интеграл первого рода. Для вычислений практически удобно разлагать эллиптический интеграл в ряд: где — период малых колебаний, — максимальный угол отклонения маятника от вертикали. При углах до 1 радиана (≈ 60°) с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) можно ограничиться первым приближением:
Точная формула периода, с квадратичной сходимостью для любого угла максимального отклонения, обсуждается на страницах сентябрьского выпуска журнала «Заметки американского математического общества» 2012 года[3]:
где — арифметико-геометрическое среднее чисел 1 и (здесь ). Движение по сепаратрисеДвижение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, а затем останавливается, возвратившись в исходное положение. ФактыНесмотря на свою простоту, математический маятник связан с рядом интересных явлений.
См. такжеПримечания
Ссылки
|